Question

如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

1

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圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB和CDO通過極短的水平軌道（長度忽略不計）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個小球P從A點的正上方高H處自由落下，從A點進(jìn)入豎直平面內(nèi)的軌道運動（小球經(jīng)過A點時無機械能損失）．當(dāng)小球通過CDO軌道最低點C時對軌道的壓力等于其重力的

23

3

倍，（取g為10m/s²）．
（1）試求高度H的大小？
（2）試討論此球能否到達(dá)CDO軌道的最高點O，并說明理由？
（3）求小球沿軌道運動后經(jīng)多長時間再次落回軌道上？

Answer 1

分析：（1）設(shè)小球通過D點的速度為v，根據(jù)向心力公式列出方程，小球從P點落下直到沿光滑軌道運動的過程中，機械能守恒，可解得H的高度；
（2）先求出0點的最小速度，然后根據(jù)機械能守恒定律得到要到達(dá)0點需要從多高的地方下落，把這個高度和H進(jìn)行比較即可解題；
（3）先求出小球由H落下通過O點的速度，小球通過O點后作平拋運動，設(shè)小球經(jīng)時間t落到AB圓弧軌道上，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）設(shè)小球通過D點的速度為v，則有：
m

v2

R 2

=F=

14

3

mg
小球從P點落下直到沿光滑軌道運動的過程中，機械能守恒，有mg（H+

R

2

）=

1

2

mv2
可得高度H=

2

3

R=10m
（2）設(shè)小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為v_c，有m

vC2

R 2

=mg
小球至少應(yīng)從H_c高處落下，mgHC=

1

2

mvC2
解得HC=

R

4

   由H＞H_C，小球可以通過O點．
（3）小球由H落下通過O點的速度為v0=

2gH

=14.1m/s
小球通過O點后作平拋運動，設(shè)小球經(jīng)時間t落到AB圓弧軌道上，有
x=v₀t
y=

1

2

gt2      
且x²+y²=R²
可解得時間t=1s  （另解舍棄）  
答：（1）高度H的大小為10m；
（2）能到達(dá)CDO軌道的最高點O；
（3）小球沿軌道運動后經(jīng)1s再次落回軌道上．

點評：整個過程中物體的機械能守恒，離開O點小球做平拋運動，直到落到軌道上，知道物體的運動過程，根據(jù)物體的不同的運動狀態(tài)，采用相應(yīng)的物理規(guī)律求解即可．