Question

如圖所示，ABCDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

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圓周軌道，CDO是直徑為15m的半圓軌道．AB軌道和CDO軌道通過極短的水平軌道（長度忽略不計）平滑連接．半徑OA處于水平位置，直徑OC處于豎直位置．一個小球P從A點的正上方高H處自由落下，從A點進入豎直平面內的軌道運動（小球經過A點時無機械能損失）．當小球通過CDO軌道最低點C時對軌道的壓力等于其重力的

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倍，取g為10m/s²．求：
（1）高度H的大小；
（2）小球沿軌道運動后再次落回軌道上時的速度大小．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律，通過豎直方向上的合力提供向心力，求出小球在C點時的速度，根據機械能守恒定律求出高度H的大小．
（2）根據機械能守恒定律求出小球通過O點的速度，與O點的臨界速度進行比較，判斷能否越過O點，若能越過O點，將做平拋運動，根據平拋運動水平位移和豎直位移的關系求出平拋運動的時間，從而求出豎直方向上的分速度，根據平行四邊形定則求出落回軌道上時的速度大小．

解答：解：（1）由題可知，小球在C點軌道對小球的支持力大小為

23

3

mg，
設此時小球的速度為v₁，
根據牛頓運動定律有：

23

3

mg-mg=m

v 2 1

R 2

小球從P到C過程中，
由機械能守恒有：mg(H+R)=

1

2

m

v

2 1

由以上兩式解得：H=10m 
（2）設小球能到達O點，
由P到O過程中，機械能守恒，
設到O點的速度為v₂，
有：mgH=

1

2

m

v

2 2

解得：v2=

2gH

=

20g

設物體恰好到達軌道O點的速度大小為v₀，
根據牛頓運動定律，
有：mg=m

v 2 0

R 2

解得：v0=

15g 2

因為  v₂＞v₀，所以小球能夠到達O點 
小球離開O點后做平拋運動，根據平拋運動規律有：
水平方向：x=v₂t 
豎直方向：y=

1

2

gt2
且有：x²+y²=R²
解得：t=1s
所以小球再次落到軌道上的速度v3=

v 2 2 +(gt)2

=10

3

m/s
答：（1）高度H的大小為10m．
（2）小球沿軌道運動后再次落回軌道上時的速度大小10

3

m/s．

點評：本題綜合考查了牛頓第二定律和機械能守恒定律，考查了圓周運動和平拋運動，綜合性較強，難度中等，需加強這類題型的訓練．