Question

【題目】如圖所示為回旋加速器的簡易圖，整個裝置置于方向豎直向下磁感應強度大小為B的勻強磁場中，已知兩D盒的半徑大小為R，兩個狹縫之間的間距為d，現將一粒子發射源放在D盒的圓心處，且該粒子發射源能釋放質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，且粒子的初速度視為零，當在兩狹縫之間施加一高頻交變電壓，加速電壓U的大小認為不變，粒子的重力可忽略，該帶電粒子在電場中的加速次數與粒子在磁場中回旋半個圓周的次數相同．求：

(1)盡管粒子在狹縫中每次加速的時間很短但也不可忽略，計算上述粒子在某次加速過程當中從離開粒子源到被第n次加速結束時所經歷的時間；

(2)粒子在第n次由D1盒進入D2盒與緊接著第n＋1次由D1盒進入D2盒位置之間的距離Δx.

Answer 1

【答案】

【解析】試題分析：根據動能定理求出粒子經過窄縫被第n次加速后的速度為vn，在根據運動學公式和牛頓第二定律即可求出粒子從離開粒子源到被第n次加速結束時所經歷的時間；根據牛頓第二定律和動能定理相應的幾何關系即可求出粒子在第n次由D1盒進入D2盒與緊接著第n＋1次由D1盒進入D2盒位置之間的距離Δx。

(1)設粒子經過窄縫被第n次加速后的速度為vn，由動能定理得：

粒子在狹縫中經n次加速的總時間：

由牛頓第二定律：

由以上三式解得電場對粒子加速的時間：

正離子在磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律：

又：

粒子在磁場中做圓周運動的時間

解得：

所以，粒子從離開粒子源到被第n次加速結束時所經歷的時間

(2)粒子經電場第1次加速后，以速度v1進入D2盒，設軌道半徑為r1

粒子經第2次電場加速后，以速度v2進入D1盒，設軌道半徑為r2

軌道半徑：

粒子第n次由D1盒進入D2盒，粒子已經過2n－1次電場加速，以速度v2n－1進入D2盒，由動能定理：

軌道半徑：

粒子第n＋1次由D1盒進入D2盒加速前，粒子已經過2n次電場加速，以速度v2n進入電場，由動能定理：

軌道半徑：

則Δx＝2(rn＋1－rn)

即：