Question

如圖所示，矩形區(qū)域MNPQ內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，虛線框外為真空區(qū)域；半徑為R、內(nèi)壁光滑、內(nèi)徑很小的絕緣半圓管ADB固定在豎直平面內(nèi)，直徑AB垂直于水平虛線MN，圓心O恰在MN的中點(diǎn)，半圓管的一半處于電場(chǎng)中．一質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電電荷量為q的小球從半圓管的A點(diǎn)由靜止開(kāi)始滑入管內(nèi)，小球從B點(diǎn)穿出后，能夠通過(guò)B點(diǎn)正下方的C點(diǎn)．重力加速度為g，小球在C點(diǎn)處的加速度大小為5g/3．求：
（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E；
（2）小球在B點(diǎn)時(shí)，半圓軌道對(duì)它作用力的大小；
（3）要使小球能夠到達(dá)B點(diǎn)正下方C點(diǎn)，虛線框MNPQ的高度和寬度滿足什么條件；
（4）小球從B點(diǎn)計(jì)時(shí)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程中，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間小球的動(dòng)能最小．

Answer 1

分析：（1）由題，小球在C點(diǎn)處的加速度大小為

5

3

g，根據(jù)牛頓第二定律求解電場(chǎng)強(qiáng)度．
（2）研究小球從A→B過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理求出小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度大小，小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解軌道對(duì)它的作用力的大小；
（3）小球從B→C過(guò)程采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究：水平方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球水平向左運(yùn)動(dòng)的最大距離和豎直方向運(yùn)動(dòng)的距離，由幾何關(guān)系確定虛線框MNPQ的高度和寬度滿足什么條件．
（4）當(dāng)F與mg的合力與v垂直時(shí)，小球的動(dòng)能最小，寫(xiě)出公式，代入數(shù)據(jù)即可．

解答：解：（1）由于小球在C處受到重力和電場(chǎng)力的共同作用，所以：
C點(diǎn)：F合=ma=

(qE)2+m2g2

代入數(shù)據(jù)得：E=

4mg

3q

       
（2）A→B的過(guò)程重力和電場(chǎng)力對(duì)小球做功，mg?(2R)-FR=

1

2

mvB2
    得：vB=

4gR 3

在B點(diǎn)N-mg=

mvB2

R

   半圓軌道對(duì)小球的作用力 N=

7

3

mg
（3）小球從B→C   水平方向勻減速運(yùn)動(dòng)，豎直方向自由落體運(yùn)動(dòng)
ax=

4

3

ga_y=g
設(shè)向左減速時(shí)間為tt=

vB

ax

=

3R 4g

    x=

1

2

vBt=

R

2

    y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

寬度應(yīng)滿足條件L＞2R，
高度滿足條件H≥

5

2

R
（4）當(dāng)F與mg的合力與v垂直時(shí)，小球的動(dòng)能最小，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t∴vy=

4

3

vxv_y=gtvx=vB-

4

3

gt
∴t=

8

25

3R g

答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E=

4mg

3q

；
（2）小球在B點(diǎn)時(shí)，半圓軌道對(duì)它作用力的大小N=

7

3

mg；
（3）要使小球能夠到達(dá)B點(diǎn)正下方C點(diǎn)，虛線框MNPQ的高度和寬度滿足H≥

5

2

R；
（4）小球從B點(diǎn)計(jì)時(shí)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過(guò)程中，經(jīng)t=

8

25

3R g

時(shí)間小球的動(dòng)能最小．

點(diǎn)評(píng)：本題采用程序法進(jìn)行處理，難點(diǎn)是小球從B→C過(guò)程，由于小球受的是恒力，采用分解法研究．