Question

如圖所示，水平彈簧一端固定，另一端系一質量為m 的小球，彈簧的勁度系數為k，小球 與水平面的摩擦系數為μ，當彈簧為原長時小位于O點，開始時小球位于O 點右方的A點，O與A之間的距離為l₀，從靜止釋放小球．
（1）為使小球能通過O點，而且只能通過一次，試問μ值應在什么范圍？
（2）在上述條件下，小球在O點左方的停住點與O 點的最大距離是多少？
（已知彈簧的彈性勢能E_p=

1

2

kx²，k為彈簧的勁度系數，x為形變量）

Answer 1

分析：（1）小球只能通過0點一次，所以小球最終停止在O點的左側，根據能量守恒列式即可求解范圍；
（2）要讓小球在左方最遠點B處停處，則kl₁≤μmg，進而即可求解．

解答：解：（1）本題要求小球停在O點或O點左方，必有：
μmgl0≤

1

2

kl02　　　即：μ≤

kl0

2mg

　　此為μ的上限
設小球到達左方最遠點距O點的距離為l₁，因最后停止點不能越過O點，滿足：

1

2

kl02≤μmg(l0+2l1)…①
因B為最遠點有：
μmg(l0+l1)=

1

2

k(l02-l12)…②
得：l1=l0-

2μmg

k

代入①得：

4m2g2

k

μ2-3mgl0μ+

1

2

kl02＜0
令：y=

4m2g2

k

μ2-3mgl0μ+

1

2

kl02
得：μ1=

kl0

4mg

，μ2=

kl0

2mg

由此中知μ的取值范圍為：

kl0

4mg

＜μ＜

kl0

2mg

（2）要讓小球在左方最遠點B處停處，則必有：
kl₁≤μmg…③
由②③得l1≤

l0

3

答：（1）為使小球能通過O點，而且只能通過一次，μ值應在什么范圍為

kl0

4mg

＜μ＜

kl0

2mg

；
（2）在上述條件下，小球在O點左方的停住點與O 點的最大距離是

l0

3

．

點評：本題主要考查了能量守恒定律的應用，計算過程較為復雜，難度適中．