Question

【題目】如圖甲所示，一長為l=1m的輕繩，一端穿在過O點的水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球，整個裝置繞O點在豎直面內轉動．給系統輸入能量，使小球通過最高點的速度不斷加快，通過傳感器測得小球通過最高點時，繩對小球的拉力F與小球在最高點動能Ek的關系如圖乙所示，重力加速度為g，不考慮摩擦和空氣阻力，請分析并回答以下問題：

（1）若要小球能做完整的圓周運動，對小球過最高點的速度有何要求？（用題中給出的字母表示）．
（2）請根據題目及圖象中的條件求出小球質量m的值．（g取10m/s2）
（3）求小球從圖中a點所示狀態到圖中b點所示狀態的過程中，外界對此系統做的功．
（4）當小球達到圖乙中b點所示狀態時，立刻停止能量輸入．之后的運動過程中，在繩中拉力達到最大值的位置，輕繩繃斷，求繃斷瞬間繩中拉力的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：小球剛好通過最高點做完整圓運動要求在最高點受力滿足：mg=m ，

因此小球過最高點的速度要滿足：v≥

答：若要小球能做完整的圓周運動，對小球過最高點的速度滿足：v≥

（2）解：小球在最高點時有：mg+F=m 又因為：EK= mv2，

所以繩對小球的拉力F與小球在最高點動能Ek的關系式為：F= ﹣mg，

由圖象知，當EK=1.0J時，F=0，代入上式得到：mgl=2.0J；又已知l=1m，則小球的質量m=0.2kg．

答：小球質量為0.2kg；擺線長度為1m

（3）解：由F= ﹣mg知：圖線的斜率值為： =2N/J，因此對應狀態b，Fb=4.0N，可求出小球在最高點的動能： = ，于是得到：EKb=3.0J

對小球從狀態a到狀態b的過程，有：W=EKb﹣EK=3.0﹣1.0=2.0J，

即：外界對系統做的功為2.0J．

答：外界對此系統做的功為2.0J

（4）解：在停止能量輸入之后，小球在重力和輕繩拉力作用下在豎直面內做圓周運動，運動過程中機械能守恒．當小球運動到最低點時，繩中拉力達到最大值．

設小球在最低點的速度為v，對從b狀態開始至達到最低點的過程應用機械能守恒定律，有：mg2l= mv2﹣EKb；

設在最低點繩中拉力為Fm，由牛頓第二定律有：Fm﹣mg=m ，

兩式聯立解得：Fm=16N，

即：繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N

答：繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N

【解析】（1）在最高點，由牛頓第二定律可求小球能做完整的圓周運動滿足的條件；（2）在最高點，由牛頓第二定律并結合圖象信息可求小球質量和擺線長度；（3）由圖象得斜率，根據動能定理求外界對系統做的功；（4）應用機械能守恒定律和牛頓第二定律求繃斷瞬間繩中拉力的大小．
【考點精析】掌握向心力和機械能綜合應用是解答本題的根本，需要知道向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力；系統初態的總機械能E 1 等于末態的總機械能E 2 ，即E1 =E2；系統減少的總重力勢能ΔE P減 等于系統增加的總動能ΔE K增 ，即ΔE P減 =ΔE K增；若系統只有A、