Question

如圖，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面。在導軌上放置一質量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求:

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；
（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系。

Answer 1

（1）
（2）

（1）設金屬棒下滑的速度大小為v，則感應電動勢為 E=BLv  ①
平行板電容器兩極板的電壓為U，U=E      ②
設此時電容器極板上儲存的電荷為Q，按定義有
  ③
聯立①②③式解得 ④
（2）設金屬棒下滑的速度大小為v時經歷的時間為t,通過金屬棒的電流為i，金屬棒受到磁場的安培力為F，方向沿導軌向上，大小為F="BLi"  ⑤
設在t～t+時間間隔內流經金屬棒的電荷量為，按定義有 ⑥
也是平行板電容器兩極板在t～t+時間間隔內增加的電荷量
由④式可得 ⑦ 式中為金屬棒速度的變化量
按加速度的定義有 ⑧
分析導體棒的受力：受重力mg，支持力N，滑動摩擦力f，沿斜面向上的安培力F。
N=mgcos⑨  ⑩(11)
聯立⑤至(11)式得(12)
由(12)式及題設可知,金屬棒做初速為零的勻加速直線運動,t時刻金屬棒下滑的速度大小為v
    (13)
【易錯點撥】本題關鍵是通過牛頓第二定律的求解得出加速度的表達式是一個與時間無關的物理量，導體棒做勻加速直線運動，這一問題考生不容易分析出來，造成該題不容易得分。具體分析：首先要由感應電動勢和電容的定義式求解速度大小為v時電容器極板上儲存的電荷Q，這一問不難，考生較容易解出；其次列牛頓第二定律方程，正確的解出加速度是一個恒量，即金屬棒做初速為零的勻加速直線運動v=at解出本題的答案，這一問考生對電流的定義，加速度的定義的理解有一定的局限性，高中階段不變的情況較多，用微積分的思想求解的練習題較少，所以大多數考生這一問不能得分，難度（1）中等，（2）難。
【考點定位】牛頓第二定律、導線切割磁感線產生感應電動勢、電容器定義式、電流定義式、加速度定義式、感應電流、安培力。