Question

如圖所示，在直角坐標系xOy平面的第Ⅱ象限內有半徑為R的圓O₁分別與x軸、y軸相切于C（-R，0）、D（0，R） 兩點，圓O₁內存在垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．與y軸負方向平行的勻強電場左邊界與y軸重合，右邊界交x軸于G點，一帶正電的粒子A（重力不計）電荷量為q、質量為m，以某一速率垂直于x軸從C點射入磁場，經磁場偏轉恰好從D點進入電場，最后從G點以與x軸正向夾角為45°的方向射出電場．求：
（1）OG之間的距離；
（2）該勻強電場的電場強度E；
（3）若另有一個與A的質量和電荷量相同、速率也相同的粒子A′，從C點沿與x軸負方向成30°角的方向射入磁場，則粒子A′再次回到x軸上某點時，該點的坐標值為多少？

Answer 1

分析：（1）從D至G作類平拋運動，根據平拋運動規律列方程求解OG之間的距離；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，由圓周運動的半徑表示出粒子的速度，結合牛頓第二定律和運動學公式求出勻強電場的電場強度E；
（3）結合題意作出所以粒子A′的運動軌跡，粒子A′也是垂直于y軸進入電場的，結合幾何知識求解粒子A′再次回到x軸上某點時，該點的坐標值．

解答：解：（1）設粒子A速率為v₀，其軌跡圓圓心在O點，故A運動至D點時速度與y軸垂直，粒子A從D至G作類平拋運動，令其加速度為a，在電場中運行的時間為t，
則有：

y=R= 1 2 at2 x=OG=v0t

…①
和 tan450=

vy

vx

=

at

v0

…②
聯立①②解得：

y

x

=

1

2

?

at

v0

=

1

2

tan450=

1

2

故有：OG=2R…③
（2）粒子A的軌跡圓半徑為R，由qv0B=m

v 2 0

R

得：v0=

qBR

m

…④
又a=

Eq

m

…⑤
聯立①③⑤得：R=

1

2

?

Eq

m

?(

2R

v   0

)2…⑥
解得：E=

qRB2

2m

…⑦
（3）令粒子A′軌跡圓圓心為O′，因為∠O′CA′=90°，O′C=R，以 O′為圓心，R為半徑做A′的軌跡圓交圓形磁場O₁于H點，則四邊形CO′H O₁為菱形，故O′H∥y軸，粒子A′從磁場中出來交y軸于I點，HI⊥O′H，所以粒子A′也是垂直于y軸進入電場的，令粒子A′從J點射出電場，交x軸于K點，因與粒子A在電場中的運動類似，
∠JKG=45°，GK=GJ．                                     
OI-JG=R
又OI=R+Rcos30°
解得：JG=Rcos30°=

3

2

R           
粒子A′再次回到x軸上的坐標為（2R+

3

2

R，0）
答：（1）OG之間的距離2R；
（2）該勻強電場的電場強度E=

qRB2

2m

；
（3）若另有一個與A的質量和電荷量相同、速率也相同的粒子A′，從C點沿與x軸負方向成30°角的方向射入磁場，則粒子A′再次回到x軸上某點時，該點的坐標值為
（2R+

3

2

R，0）．

點評：粒子在電場中運動偏轉時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．