Question

如圖所示，在坐標系xOy第二象限內有一圓形勻強磁場區域（圖中未畫出），磁場方向垂直xOy平面．在x軸上有坐標（-2l₀，0）的P點，三個電子a、b、c以相等大小的速度沿不同方向從P點同時射入磁場區，其中電子b射入方向為+y方向，a、c在P點速度與b速度方向夾角都是θ=

π

3

．電子經過磁場偏轉后都垂直于y軸進入第一象限，電子b通過y軸Q點的坐標為y=l₀，a、c到達y軸時間差是t₀．在第一象限內有場強大小為E，沿x軸正方向的勻強電場．已知電子質量為m、電荷量為e，不計重力．求：
（1）電子在磁場中運動軌道半徑和磁場的磁感應強度B．
（2）電子在電場中運動離y軸的最遠距離x．
（3）三個電子離開電場后再次經過某一點，求該點的坐標和先后到達的時間差△t．

Answer 1

分析：（1）連接兩個圓心、入射點和出射點構成的平行四邊形，得到當圓形磁場區域半徑等于粒子做圓周運動的半徑時，從磁場邊緣的一點向各個方向射出的粒子，偏轉后平行射出，由幾何關系得到軌道半徑，然后根據洛倫茲力提供向心力列式求解；
（2）電子進入電場后做勻減速直線運動，根據動能定理列式求解；
（3）連接兩個圓心、入射點和出射點構成的平行四邊形，得到當圓形磁場區域半徑等于粒子做圓周運動的半徑時，寬度與磁場直徑相等的粒子束經過磁場后匯聚一點，然后作出三個粒子束的軌跡圖后進行分析．

解答：解：（1）三電子軌跡如圖．

由圖可知，R=l₀
設a、c到達y軸時間差為t₀，其中它們離開磁場后到達y軸時間是相等的，在磁場區中a轉過30°圓心角，時間t_a=

T

12

，c轉過150°圓心角，時間t_c=

5T

12

，
t₀=t_b-t_a=

T

3

=

2πm

3eB0

，故B₀=

2πm

3et0

（2）電子在磁場中運動ev₀B₀=m

v02

R

，解得v₀=

eB0R

m

=

2πl0

3t0

在電場中-eEx₁=0-

1

2

m

v

2 0

得x₁=

m v 2 0

2Ex1

（3）電子離開電場再次返回磁場軌跡如圖，坐標x=-2l₀，y=2l₀，由運動的對稱性可知：
a、c同時到達，與b比較磁場中運動時間都是半個周期，電場中運動時間也都相等，所以時間差為在非場區
△t=2（R-Rcos60°）=l₀
△t=

l0

v0

=

3t0

2π

，b先到達．
答：（1）電子在磁場中運動軌道半徑為l₀，磁場的磁感應強度B為

2πm

3et0

；
（2）電子在電場中運動離y軸的最遠距離為

m v 2 0

2Ex1

；
（3）三個電子離開電場后再次經過某一點，該點的坐標和先后到達的時間差△t為

3t0

2π

．

點評：本題關鍵是畫出粒子的運動軌跡圖進行動態分析，然后結合幾何關系并運用洛倫茲力提供向心力列式求解．