Question

某種加速器的理想模型如圖1所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔、，兩極板間電壓的變化圖象如圖2所示，電壓的最大值為、周期為，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場。若將一質(zhì)量為、電荷量為的帶正電的粒子從板內(nèi)孔處靜止釋放，經(jīng)電場加速后進(jìn)入磁場，在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間后恰能再次從孔進(jìn)入電場加速�，F(xiàn)該粒子的質(zhì)量增加了。（粒子在兩極板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不計(jì)，兩極板外無電場，不考慮粒子所受的重力）
【小題1】若在時(shí)刻將該粒子從板內(nèi)孔處靜止釋放，求其第二次加速后從孔射出時(shí)的動(dòng)能；
【小題2】現(xiàn)要利用一根長為的磁屏蔽管（磁屏蔽管置于磁場中時(shí)管內(nèi)無磁場，忽略其對(duì)管外磁場的影響）使圖1中實(shí)線軌跡（圓心為）上運(yùn)動(dòng)的粒子從孔正下方相距處的孔水平射出，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡圖上的相應(yīng)位置處畫出磁屏蔽管；
【小題3】若將電壓的頻率提高為原來的2倍，該粒子應(yīng)何時(shí)由板內(nèi)孔處從靜止開始加速，才能經(jīng)多次加速后獲得最大動(dòng)能？最大動(dòng)能是多少？

Answer 1

【小題1】
【小題2】圖略（將磁屏蔽管豎直放置，放在與實(shí)線圓相切處，上端與點(diǎn)同高。）
【小題3】）（在區(qū)間粒子最多被連續(xù)加速次，當(dāng)時(shí)刻也恰好被加速的情況下，最終獲得的動(dòng)能最大。因此開始時(shí)刻。對(duì)應(yīng)的最大動(dòng)能為

解析


本題考查帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)和在電場中的加速運(yùn)動(dòng)以及用數(shù)學(xué)解決物理問題的能力．關(guān)鍵是判斷怎樣才能得到最大動(dòng)能即何時(shí)加速，加速電壓多大
（1）求第二次加速后從b孔射出時(shí)的動(dòng)能只需知道加速時(shí)所對(duì)應(yīng)的電壓即可．
質(zhì)量為m₀的粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有
，，   則
當(dāng)粒子的質(zhì)量增加了 ，其周期增加,
根據(jù)題圖2可知，粒子第1次的加速電壓 ,
經(jīng)過第二次加速，設(shè)第2次加速電壓U₂，如圖3所示，在三角形中，有 ，
所以粒子第2次的加速電壓 ,粒子射出時(shí)的動(dòng)能
解得 .
（2）因?yàn)榇牌帘喂苁沽Ｗ觿蛩龠\(yùn)動(dòng)至以下L處，出管后仍然做圓周運(yùn)動(dòng)，可到C點(diǎn)水平射出．磁屏蔽管的位置和粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖4．
（3）如圖5，設(shè)T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期內(nèi)的電壓隨時(shí)間變化的圖象。
從圖象可以看出，時(shí)間每改變（圖象中為1），電壓改變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b6/1/a52qe2.png" style="vertical-align:middle;" />（圖象中為4），所以圖象中電壓分別為50，46，42，38，…10，6，2，共13個(gè) . 設(shè)某時(shí)刻t，u=U₀時(shí)被加速，此時(shí)刻可表示為 ,靜止開始加速的時(shí)刻t₁為，其中n=12，將n=12代入得 ,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f9/6/1kpaj4.png" style="vertical-align:middle;" />，在u＞0時(shí)，粒子被加速，則最多連續(xù)被加速的次數(shù)： ，得N=25．所以只能取N=25，解得  , 由于電壓的周期為，所以

故粒子由靜止開始被加速的時(shí)刻
故加速時(shí)的電壓分別   ,
根據(jù)動(dòng)能定理可知：粒子的最大動(dòng)能等于加速電壓做的總功，即 
解得: