Question

某種加速器的理想模型如題15-1圖所示：兩塊相距很近的平行小極板中間各開有一小孔a、b，兩極板間電壓u_ab的變化圖象如圖15-2圖所示，電壓的最大值為U₀、周期為T₀，在兩極板外有垂直紙面向里的勻強磁場。若將一質量為m₀、電荷量為q的帶正電的粒子從板內a孔處靜止釋放，經電場加速后進入磁場，在磁場中運動時間T₀后恰能再次從a 孔進入電場加速。現該粒子的質量增加了。(粒子在兩極板間的運動時間不計，兩極板外無電場，不考慮粒子所受的重力)

(1)若在t=0時刻將該粒子從板內a孔處靜止釋放，求其第二次加速后從b孔射出時的動能；

(2)現在利用一根長為L的磁屏蔽管(磁屏蔽管置于磁場中時管內無磁場，忽略其對管外磁場的影響)，使題15-1圖中實線軌跡(圓心為O)上運動的粒子從a孔正下方相距L處的c孔水平射出，請在答題卡圖上的相應位置處畫出磁屏蔽管；

(3)若將電壓u_ab的頻率提高為原來的2倍，該粒子應何時由板內a孔處靜止開始加速，才能經多次加速后獲得最大動能？最大動能是多少？

Answer 1

【答案】（1）質量為的粒子在磁場中作勻速圓周運動，

則

當粒子的質量增加了，其周期增加

根據題15-2圖可知，粒子第一次的加速電壓

粒子第二次的加速電壓

粒子射出時的動能

解得

(2)磁屏蔽管的位置如下圖所示

（3）在時，粒子被加速，則最多連續被加速的次數

，得

分析可得，粒子在連續被加速的次數最多，且時也被加速的情況時，最終獲得的動能最大。

粒子由靜止開始被加速的時刻 (n=0,1,2,……)

最大動能

解得 .

【解析】第（1）問中求第2次加速電壓u₂，如下圖

在三角形中，，所以

第（2）問中為什么磁屏蔽管放在如答案圖位置。因為磁屏蔽管使粒子勻速運動至以下L處，出管后仍然做圓周運動，可到C點水平射出。如下圖。

第（3）問中，由靜止開始加速的時刻可以倒推。

設某時刻，時被加速，此時刻可表示為，靜止開始加速的時刻為，其中n=12，將n=12代入得，因為，所以只能取N=25，解得，由于電壓的周期為,所以（n=0,1,2,3…）

求電壓，如下圖（用Excel作圖）設T₀=100，U₀=50，得到在四分之一周期內的電壓隨時間變化的圖象，從圖象可以看出，時間每改變(圖象中為1)，電壓改變為(圖象中為4)，所以圖象中電壓分別為50,46,42,38，………10，6，2，共13個，加上另一面的12個，共25個，題中表示電壓分別,，……，，，根據等差數列的求和公式，可求出加速電壓做的總功，即動能的最大值。

【點評】本題考查帶電粒子在磁場中的圓周運動和在電場中的加速運動以及用數學解決物理問題的能力。關鍵是判斷怎樣才能得到最大動能。難度：難。難在讀題難懂。