Question

【題目】如圖所示為平面直角坐標系xoy，在第一、二象限中有一半圓形的有界磁場，圓心在O點，半圓的半徑為R，磁場方向垂直坐標平面向里，磁感應強度為B，在y=R的上方有一沿x軸負方向的勻強電場，電場強度為E，在坐標原點有一粒子源，可以向第一象限坐標平面內的任意方向發射相同速率的帶正電的粒子，粒子質量為m，電荷量為q，粒子的重力可以忽略不計，不考慮粒子間的相互作用。發現有一粒子從y軸上的P點離開磁場進入電場，并且此時速度方向與y軸正方向成30°，求

(1)粒子速度的大小；

(2)出磁場后能垂直進入電場的粒子從粒子源射出到經過y軸時所用的時間；

(3)在y=R上，有粒子能進入電場的橫坐標范圍。

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：

(1)由題意和粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡找出粒子做勻速圓周運動的弦長和弦切角，根據弦長公式即可求出粒子的速度；

(2)分別求出粒子在磁場中運動的時間、在磁場和電場之間的運動時間、在電場中的運動時間，再三個時間之和即可；

(3)分別找出運動到y=R直線上最右端的粒子進入磁場的速度方向，和運動到y=R直線上最左端的粒子進入磁場的速度方向，根據幾何知識即可求解。

解：(1)由有一粒子從y軸上的P點離開磁場進入電場，并且此時速度方向與y軸正方向成30°可知，此時OP的連線即為粒子做勻速圓周運動的弦長，且弦切解為300，設粒子做勻速圓周運動的半徑為r，由弦長公式，即，解得： ，再由洛倫茲力提供向心力即，解得： ；

(2)能垂直進入電場的粒子從為點射出后，到達圓形磁場邊界的速度方向豎直向上，設粒子做勻速圓周運動的軌跡與圓形磁場邊界相交于M點，由于粒子做勻速圓周運動的半徑也為R，由幾何關系可知，粒子做勻速圓周運動的圓心在圓形磁場邊界的左半圓上，設為N點，連接OMN可知， 為等邊三角形，所以粒子在磁場中的運動的圓心角為600，所以粒子在磁場中運動的時間，

粒子出磁場后做勻速圓周運動，從M點作垂線與y=R的電場線相交于P點，由幾何關系解得，所以粒子從出磁場到進入電場所用的時間

粒子進入電場后做類平拋運動，由幾何關系可知，M點到y軸的距離為，由電場力方向做勻加速直線運動，

解得：

所以總時間為；

(3)當粒子以平行x軸進入磁場時，從磁場射出再進入電場時為在y=R直線上的最右端，設粒子做勻速圓周運動軌跡與圓形磁場邊界的交點為G，過G點作粒子出磁場速度的切線交y=R直線的交點為F，由幾何關系可知

當粒子以平行y軸進入磁場時，從磁場射出再進入電場時為在y=R直線上的最左端，設粒子做勻速圓周運動軌跡與圓形磁場邊界的交點為H，過H點作粒子出磁場速度的切線交y=R直線的交點為I，由幾何關系可知，所以在y=R上，有粒子能進入電場的橫坐標范圍。