Question

（2010?煙臺一模）如圖所示，在真空中，邊長為2b的虛線所圍的正方形區域ABCD內存在勻強磁場，磁場方向垂直紙面向外．在磁場右側有一對平行金屬板M和N，兩板間距離為b，板長為2b，O₁O₂為兩板的中心線．且O₁為磁場右邊界BC邊的中點．有一電荷量為q、質量為m的帶正電的粒子，以速度v₀從DC邊某點P點沿垂直于DC的方向進入磁場，當粒子從O₁點沿O₁O₂方向飛出磁場的同時，給M、N板間加上如圖所示交變電壓u（圖中U₀與T未知）．最后粒子剛好以平行于N板的速度，從N板的邊緣飛出．不計平行金屬板兩端的邊緣效應及粒子所受的重力．求：
（1）磁場的磁感應強度B的大小；
（2）交變電壓的周期T和電壓U₀的值；
（3）若t=

T

2

時，將相同粒子從MN板右側O₂點沿板的中心線O₂O₁方向，仍以速率v₀射入M、N之間，求粒子進入磁場后在磁場中運動的時間．

Answer 1

分析：粒子進入磁場在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，完成

1

4

圓弧后，垂直進入勻強電場后做類平拋運動，最后只好從N板邊緣飛出，由平拋運動規律可求出運動的時間，從而得出電場變化的周期，最終列出極板間電壓的表達式．
當t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場時，則該粒子將恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場，根據粒子運動軌道結合幾何關系可求出圓周運動的周期，從而算出運動的時間．

解答：解：粒子自P點進入磁場，從O₁點水平飛出磁場，運動半徑為b，
則qv0B=m

v 2 0

b

解得：B=

mv0

bq

 
粒子自O₁點進入電場，最后恰好從N板的邊緣平行飛出，
設運動時間為t，則2b=v₀t

b

2

=2n?

1

2

?

qU0

mb

(

T

2

)2   
t=nT（n=1，2，…） 
解得：T=

2b

nv0

(n=1，2，…)  
U0=

nm v 2 0

2q

  (n=1，2，…)
（3）當t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場時，則該粒子將恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場，且進入磁場的為v₀，運動的軌道半徑仍為b，設進入磁場的點為E，離開磁場的點為Q，圓心為O，
如圖所示，
OB=R-

b

2

=

b

2

     OQ=R=b
由cosθ=

OB

OQ

=

1

2

 
可得：θ=60°=

π

3

  
因為T=

2πR

v0

，
得T=

2πb

v0

 
粒子在磁場中運動的時間為t=

θ

2π

T=

T

6

=

πb

3v0

．

點評：本題突破口：粒子自O₁點進入電場，最后恰好從N板的邊緣平行飛出；當t=

T

2

粒子以速度v₀沿O₂O₁射入電場時，則該粒子將恰好從M板邊緣以平行于極板的速度射入磁場．