Question

【題目】如圖甲所示，平行金屬板M、N水平放置，板長L=m、板間距離d=0.20m。在豎直平面內建立xOy直角坐標系，使x軸與金屬板M、N的中線OO′重合，y軸緊靠兩金屬板右端。在y軸右側空間存在方向垂直紙面向里、磁感應強度大小B=5.0×10－3T的勻強磁場，M、N板間加隨時間t按正弦規律變化的電壓uMN，如圖乙所示，圖中T0未知，兩板間電場可看作勻強電場，板外電場可忽略。比荷=1.0×107C/kg、帶正電的大量粒子以v0=1.0×105m/s的水平速度，從金屬板左端沿中線OO′連續射入電場，進入磁場的帶電粒子從y軸上的 P、Q（圖中未畫岀，P為最高點、Q 為最低點）間離開磁場。在每個粒子通過電場區域的極短時間內，電場可視作恒定不變，忽略粒子重力，求：

(1) 進入磁場的帶電粒子在電場中運動的時間t0及在磁場中做圓周運動的最小半徑r0；

(2) P、Q兩點的縱坐標yP、yQ；

(3) 若粒子到達Q點的同時有粒子到達P點，滿足此條件的電壓變化周期T0的最大值。

Answer 1

【答案】(1)3.46×10－6 s；2.0 m；(2) 4.1 m；3.9 m；(3) 2.51×10－4 s

【解析】

(1) 能從右側離開電場的帶電粒子在電場中運動的時間

t0=

代入數據得t0=3.46×10－6 s

t=nT0（n=0、1、2……）時刻射入電場的帶電粒子不發生偏轉，進入磁場做圓周運動的半徑最小。粒子在磁場中運動時有

qv0B=

代入數據解得r0=2.0 m

(2) 設兩板間電壓為U1時，帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場，則有

q=ma，d=at

代入數據解得U1=V

在電壓小于等于V時，帶電粒子才能從兩板間射出電場，電壓大于V時，帶電粒子打在極板上，不能從兩板間射出。帶電粒子剛好從極板邊緣射出電場時，速度最大。

設粒子恰好射出電場時速度為v，方向與x軸的夾角為θ，在磁場中做圓周運動的半徑為r，則

tan θ=，qvB=

弦長

D=2rcos θ

代入數據解得

θ=30°

則有

D==4.0 m

從極板M邊緣射出的帶電粒子，在磁場中轉過120°，經過P點，則

yP=＋D=4.1 m

從極板N邊緣射出的帶電粒子，在磁場中轉過240°，經過Q點，則

yQ=D－=3.9 m

(3)帶電粒子在磁場中做圓周運動的周期T=，粒子到達Q點的同時有粒子到達P點，則這兩個粒子開始運動的時間差為，到達Q點的粒子進入磁場的時刻可能是、、、……到達P點的粒子進入磁場的時刻可能是、、、……，當電壓變化周期T0有最大值Tm時應滿足的關系

－

解得

Tm=×10－4 s=2.51×10－4 s