Question

如圖所示的凹形場地，兩端是半徑為L的光滑

1

4

圓弧面，中間是長為4L的粗糙水平面．質量為3m的滑塊乙開始停在水平面的中點O處，質量為m的滑塊甲從光滑圓弧面頂端A處無初速度滑下，進入水平面內并與乙發生碰撞，碰后以碰前一半的速度反彈．已知甲、乙與水平面的動摩擦因數分別為μ₁、μ₂，且μ₁=0.25，μ₂=

μ1

2

．甲、乙的體積大小忽略不計．求：
（1）甲與乙碰撞前的速度；
（2）碰后瞬間乙的速度；
（3）甲、乙在O處發生碰撞后，剛好不再發生碰撞，則碰后甲乙通過的路程之比為多少，甲、乙停在距B點多遠處．

Answer 1

（1）設甲到達O處與乙碰撞前的速度為v_甲，由動能定理可得：
m_甲gL-μ₁m_甲g?2L=

1

2

m_甲v_甲²-0，
解得：v_甲=

gL

；
（2）設碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲′、v_乙′，以甲的初速度方向為正方向，由動量守恒定律得：
m_甲v_甲=m_甲v_甲′+m_乙v_乙′，
由題意知：v_甲′=-

1

2

v_甲=-

gL

2

，
解得：v_乙′=

1

2

v_甲=

gL

2

；
（3）由于μ₁=2μ₂，所以甲、乙在水平面上運動的加速度滿足：a_甲=2a_乙，
設甲在水平地面上通過的路程為s₁、乙在水平地面上通過的路程為s₂，
由速度位移公式：v_甲′²=2a_甲s₁，v_乙′²=2a_乙s₂，
即：

s1

s2

=

1

2

…①
由于甲、乙剛好不再發生第二次碰撞，所以甲、乙在同一地點停下．有以下兩種情況：
第一種情況：甲返回時未到達B時就已經停下，此時有：s₁＜2L，
而乙停在甲所在位置時，乙通過的路程為：s₂=2L+2L+s₁=4L+s₁，
因為s₁與s₂不能滿足①，因而這種情況不能發生．
第二種情況：甲、乙分別通過B、C沖上圓弧面后，返回水平面后相向運動停在同一地點，所以有：s₁+s₂=8L…②
①②兩式得：s₁=

8

3

L或s₂=

16

3

L，
即小車停在距B為：△L=s₁-2L=

2

3

L；
答：（1）甲與乙碰撞前的速度為

gL

；
（2）碰后瞬間乙的速度

gL

2

；
（3）通過的路程之比為1：2，甲、乙停在距B點

2

3

L處．