Question

（2008?浙江模擬）如圖所示，兩足夠長平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為L，導軌平面與水平面夾角α=30°，導軌電阻不計．磁感應強度為B的勻強磁場垂直導軌平面斜向上，長為L的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質量為m，電阻為R．兩金屬導軌的上端連接右側電路，電路中R₂為一電阻箱，已知燈泡的電阻R_L=4R，定值電阻R₁=2R，調節電阻箱使R₂=12R，重力加速度為g，閉合開關S，現將金屬棒由靜止釋放，求：
（1）金屬棒下滑的最大速度v_m；
（2）當金屬棒下滑距離為s₀時速度恰好達到最大，則金屬棒由靜止開始下滑2s₀的過程中，整個電路產生的電熱；
（3）改變電阻箱R₂的阻值，當R₂為何值時，金屬棒勻速下滑時R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達到最大．由歐姆定律、感應電動勢和安培力公式推導出安培力的表達式，根據平衡條件求解最大速度．
（2）金屬棒由靜止開始下滑2s₀的過程中，重力和安培力對棒做功，棒的重力勢能減小轉化為棒的動能和電路的內能，根據能量守恒列式可求出整個電路中產生的總電熱．
（3）金屬棒勻速下滑時受力平衡，根據平衡條件得到通過ab棒的電流，根據歐姆定律得到通過R₂的電流，由公式P2=

I

2 2

R2得到功率與電阻的關系式，運用數學知識求極值，并確定出條件．

解答：解：（1）當金屬棒勻速下滑時速度最大，達到最大時有
    mgsinα=F_安…①
又  F_安=BIL…②
   I=

BLvm

R總

…③
其中R_總=R+R₁+

R2RL

R2+RL

=6R…④
聯立①-④式得金屬棒下滑的最大速度vm=

3mgR

B2L2

…⑤
（2）根據能量轉化和守恒得：
   mgsin2sB=Q+

1

2

m

v

2 m

  ⑥
再將⑤式代入上式得Q=mgs0-

9m3g2R2

2B4L4

 
（3）金屬棒勻速下滑時
  mgsinα=BIL
則得 I=

mgsinα

BL

…⑦
R₂消耗的功率P2=

I

2 2

R2…⑧
由分流原理得：通過電阻箱R₂的I₂=

RL

R2+RL

I=

4R

R2+4R

I…⑨
聯立⑦～⑨式得P2=( 
則得 P2=

16R2R2

R 2 2 +8RR2+16R2

(

mgsinα

BL

)2
  P2=

16R

R2+8R+ 16R2 R2

(

mgsinα

BL

)2
當R2=

16R2

R2

，即R₂=4R時，R₂消耗的功率最大
故R₂消耗的最大功率為：P2=

m2g2R

4B2L2

答：
（1）金屬棒下滑的最大速度v_m是

3mgR

B2L2

．
（2）金屬棒由靜止開始下滑2s₀的過程中，整個電路產生的電熱是mgs₀-

9m3g2R2

2B4L4

；
（3）改變電阻箱R₂的阻值，當R₂為何值時，金屬棒勻速下滑時R₂消耗的功率最大；消耗的最大功率為

m2g2R

4B2L2

．

點評：本題考查了電路知識、電磁感應知識，第3問運用數學方法求極值，對數學知識的能力要求較高．