Question

如圖所示，一個

3

4

圓弧形光滑圓管軌道ABC，放置在豎直平面內，軌道半徑為R，在A點與水平地面AD相接，地面與圓心O等高，MN是放在水平地面上長為3R、厚度不計的墊子，左端M正好位于A點．將一個質量為m、直徑略小于圓管直徑的小球從A處管口正上方某處由靜止釋放，不考慮空氣阻力，小球的半徑遠小于R．
（1）若小球從C點射出后恰好能打到墊子的M端，求小球經過圓管的最高點C點時對圓管的作用力的大小和方向；
（2）欲使小球能通過圓管最高點C點后落到墊子上，求小球的釋放點離A點的高度H滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）小球離開C點做平拋運動，根據平拋運動的規律求解小球經過圓管的最高點C點時的速度．在C點，由重力和圓管的作用力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出圓管對小球的作用力，即可根據牛頓第三定律得到小球對圓管的作用力．
（2）小球平拋運動的水平位移最大為4R，最小為R，根據平拋運動的規律和機械能守恒結合求解．

解答：解：（1）小球離開C點做平拋運動，
  豎直方向：R=

1

2

gt²
  水平方向：R=v₁t  
聯立解得，v₁=

1 2 gR

               
設小球以v₁經過C點受到管對它的豎直向上的作用力為F_N，有：
   mg-F_N=m

v 2 1

R

解得：F_N=mg-m

v 2 1

R

=

mg

2

            
由牛頓第三定律可知，小球對管作用力的大小為

1

2

mg，方向豎直向下．
（2）小球由靜止釋放的高度最大時，小球運動的水平位移為4R，打到N點．設能夠落到N點的水平速度為v₂，有：
  v₂=

4R

t

=

8gR

                  
設小球離A點的最大高度為H₂，根據機械能守恒定律可知：
  mg（H₂-R）=

1

2

mv

2 2

              
解得：H₂=

v 2 2

2g

+R=5R             
同理：設小球離A點的最小高度為H₁，有
  mg（H₁-R）=

1

2

mv₁²
解得：H₁=

5

4

R                  
因此小球的釋放點離A點的高度H滿足的條件：

5

4

R≤H≤5R．
答：
（1）小球經過圓管的最高點C點時對圓管的作用力的大小為

1

2

mg，方向豎直向下．
（2）欲使小球能通過圓管最高點C點后落到墊子上，小球的釋放點離A點的高度H滿足的條件是：

5

4

R≤H≤5R．

點評：本題首先要明確物體的運動過程，根據物體的不同的運動狀態，采用相應的物理規律求解即可．