Question

如圖為“S”字形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，固定在豎直平面內，軌道彎曲部分由兩個半徑相等的半圓連接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，某彈射裝置將一個小球（可視為質點）從a點以速度v₀水平彈射向b點并進入軌道，經過軌道后從p點水平拋出，已知小球與地面ab段間的動摩擦因數μ＝0.2，不計其他機械能損失，ab段長L＝1.25m，圓的半徑R＝0.1m，小球質量m＝0.01kg，軌道質量為m′＝0.15kg，g＝10m/s²，求：

（1）若v₀＝5m/s，小球從p點拋出后的水平射程．

（2）若v₀＝5m/s，小球經過軌道的最高點時，管道對小球作用力的大小和方向．

（3）設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當v₀至少為多少時，軌道對地面的壓力會為零，并指出此時小球的位置．

Answer 1

（1）s＝0.98m

（2）F＝1.1N  方向豎直向下

（3）v₀＝5m/s

解析:

（1）設小球運動到p點的速度大小為v，對小球由a點運動到p點的過程應用動能定理得

－μmgL－4Rmg＝mv²－mv₀²

小球自p點做平拋運動，設運動時間為t，水平射程為s，則：

4R＝gt²

s＝vt

聯立代入數據解得

s＝0.98m

（2）設在軌道最高點時管道對小球的作用力大小為F，取豎直向下為正方向

F＋mg＝

聯立代入數據解得

F＝1.1N

方向豎直向下

（3）分析可知，要使小球以最小速度v₀開始運動，且軌道對地面的壓力為零，則小球的位置應該在“S”字形軌道的中間位置

則有：

F′＋mg＝

F′＝m′g

－μmgL－2mgR＝mv₁²－mv₀²

解得：v₀＝5m/s