Question

如圖為“S”字形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，固定在豎直平面內，軌道彎曲部分由兩個半徑相等的半圓連接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，某彈射裝置將一個小球（可視為質點）從a點以速度v₀水平彈射向b點并進入軌道，經過軌道后從p點水平拋出，已知小球與地面ab段間的動摩擦因數μ=0.2，不計其他機械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質量m=0.01kg，軌道質量為m′=0.15kg，g=10m/s²，求：
（1）若v₀=5m/s，小球從p點拋出后的水平射程．
（2）若v₀=5m/s，小球經過軌道的最高點時，管道對小球作用力的大小和方向．
（3）設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當v₀至少為多少時，軌道對地面的壓力會為零，并指出此時小球的位置．

Answer 1

分析：（1）對a到p運用動能定理求出小球到達P點的速度，根據平拋運動的規律求出小物體拋出后的水平射程．
（2）根據牛頓第二定律求出管道對小物體的作用力大小和方向．
（3）當小球在“S”形道中間位置軌道對地面的壓力為零，此時速度最小，根據動能定理，結合牛頓第二定律求出最小的速度．

解答：解：（1）設小物體運動到p點的速度大小為v，對小物體由a點運動到p點過程，運用動能定理得
-μmgL-mg?4R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

小物體自p點做平拋運動，設運動時間為t，水平射程為s，則：
  4R=

1

2

gt2
  s=vt
聯立代入數據解得s=0.4

6

m．
（2）設在軌道的最高點時管道對小物體的作用力大小為F，取豎直向下為正方向，根據牛頓第二定律得，F+mg=m

v2

R

聯立代入數據解得：
F=1.1N，方向豎直向下．
（3）分析可知，要使小球以最小速度v₀運動，且軌道對地面的壓力為零，則小球的位移應該在“S”形道中間位置．
根據牛頓第二定律得，F′+mg=m

v 2 1

R

，F′=Mg
根據動能定理得，-μmgL-mg?2R=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

解得v₀=5m/s．
答：（1）小物體從P點拋出后的水平射程為0.4

6

m．
（2）管道對小物體作用力的大小為1.1N，方向豎直向下．
（3）當v₀=5m/s，軌道對地面的壓力為零．

點評：本題綜合考查牛頓第二定律和動能定理的運用，難度中等，涉及到圓周運動，平拋運動，需加強這方面題型的訓練．