Question

在光滑的水平軌道上，有兩個半徑都是r的小球A和B，質量分別為m和2m，當兩球心間距離大于l（l比2r大得多）時，兩球之間無相互作用力；當兩球心間距離等于或小于l時，兩球間存在相互作用的恒定斥力F.設A球從遠離B球處以速度v₀沿兩球連心線向原來靜止的B球運動，如圖3-3-17所示，欲使兩球不發生接觸，v₀必須滿足什么條件？

圖3-3-17

Answer 1

思路點撥：本題的關鍵是正確找出兩球“不接觸”的臨界狀態.據題意，當A、B兩球球心間距離小于1時，兩球間存在相互作用的恒定斥力F，故A減速而B加速.當v_A＞v_B時，A、B間距離減小；當v_A＜v_B時，A、B間距離增大.可見，當v_A=v_B時，A、B相距最近.若此時A、B間距離d＞2r，則A、B不發生接觸（如圖3-3-18）.

圖3-3-18

上述狀態即為所尋找的臨界狀態，v_A=v_B 時x＞2r則為臨界條件.兩球從相互作用開始，A的位移為s_A，B的位移為s_B，d=s_B+l-s_A＞2r.利用牛頓運動定律和運動學公式根據分析知

兩球間距離最小時有：v_A=v_B                                                    ①

設相互作用過程中，A、B兩球的位移分別為s_A和s_B，則距離關系為：s_B+l-s_A＞2r    ②

由牛頓第二定律得，兩球加速度分別為：a_A=F/m,a_B=F/2m                           ③

由運動學公式知，兩球速度分別為：

v_A=v₀-a_At，v_B=a_Bt                                                             ④

由運動學公式知，兩球位移分別為：s_A=v₀t-a_At²/2，s_B=a_Bt²/2                        ⑤

聯立①—⑤方程解方程組得：

v₀=.

答案：欲使兩球不發生接觸，必須滿足：v₀＜的條件.