Question

【題目】如圖所示，一條帶有圓軌道的長軌道水平固定，圓軌道豎直，底端分別與兩側的直軌道相切，半徑R＝0.5m，物塊A以v0＝6m/s的速度滑入圓軌道，滑過最高點Q，再沿圓軌道滑出后，與直軌道上P處靜止的物塊B碰撞，碰后粘在一起運動，P點左側軌道光滑，右側軌道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段長度都為L＝0.1m，物塊與各粗糙段間的動摩擦因數都為μ＝0.1，A、B的質量均為m＝1kg(重力加速度g取10m/s2；A、B視為質點，碰撞時間極短)．

(1)求A滑過Q點時的速度大小v和受到的彈力大小F；

(2)若碰后AB最終停止在第k個粗糙段上，求k的數值；

(3)求碰后AB滑至第n個(n＜k)光滑段上的速度vn與n的關系式．

Answer 1

【答案】(1), F＝22 N (2) k＝45 (3)

【解析】

⑴物塊A從開始運動到運動至Q點的過程中，受重力和軌道的彈力作用，但彈力始終不做功，只有重力做功，根據動能定理有：－2mgR＝－

解得：v＝＝4m/s

在Q點，不妨假設軌道對物塊A的彈力F方向豎直向下，根據向心力公式有：mg＋F＝

解得：F＝－mg＝22N，為正值，說明方向與假設方向相同。

⑵根據機械能守恒定律可知，物塊A與物塊B碰撞前瞬間的速度為v0，設碰后A、B瞬間一起運動的速度為v0′，根據動量守恒定律有：mv0＝2mv0′

解得：v0′＝＝3m/s

設物塊A與物塊B整體在粗糙段上滑行的總路程為s，根據動能定理有：－2μmgs＝0－

解得：s＝＝4.5m

所以物塊A與物塊B整體在粗糙段上滑行的總路程為每段粗糙直軌道長度的＝45倍，即k＝45

⑶物塊A與物塊B整體在每段粗糙直軌道上做勻減速直線運動，根據牛頓第二定律可知，其加速度為：a＝＝－μg＝－1m/s2

由題意可知AB滑至第n個（n＜k）光滑段時，先前已經滑過n個粗糙段，根據勻變速直線運動速度-位移關系式有：2naL＝－

解得：vn＝＝m/s（其中n＝1、2、3、…、44）