Question

如圖所示，MN和PQ是兩根放在豎直面內且足夠長的平行金屬導軌，相距l=50cm．導軌處在垂直紙面向里的磁感應強度B=5T的勻強磁場中．一根電阻為r=0.1Ω的金屬棒ab可緊貼導軌左右運動．兩塊平行的、相距d=10cm、長度L=20cm的水平放置的金屬板A和C分別與兩平行導軌相連接，圖中跨接在兩導軌間的電阻R=0.4Ω．其余電阻忽略不計．已知當金屬棒ab不動時，質量m=10g、帶電量q=-10^-3C的小球以某一速度v₀沿金屬板A和C的中線射入板間，恰能射出金屬板（g取10m/s²）．求：
（1）小球的速度v₀；
（2）若使小球在金屬板間不偏轉，則金屬棒ab的速度大小和方向；
（3）若要使小球能從金屬板間射出，則金屬棒ab勻速運動的速度應滿足什么條件？

Answer 1

（1）根據題意，小球在金屬板間做平拋運動．水平位移為金屬板長L=20cm，豎直位移等于

d

2

=5cm，根據平拋運動規律：

d

2

=

1

2

gt2，

d

2

=

1

2

g（

L

v0

）²
解得：v₀=L

g d

=0.2×

10 0.1

m/s=2m/s
（2）欲使小球不偏轉，須小球在金屬板間受力平衡，根據題意應使金屬棒ab切割磁感線產生感應電動勢，從而使金屬板A、C帶電，在板間產生勻強電場，小球所受電場力等于小球的重力．
由于小球帶負電，電場力向上，所以電場方向向下，A板必須帶正電，金屬棒ab的a點應為感應電動勢的正極，根據右手金屬棒ab應向右運動．
設金屬棒ab的速度為v₁，則：E=BLv₁，
金屬板A、C間的電壓：U=

BLv1

R+r

?R
金屬板A、C間的電場E_場=

U

d

，
小球受力平衡，則有：qE_場=mg
得：E_場=

mg

q

聯立以上各式解得：v₁=

mg(R+r)d

qBLR

=

1×10-2×10×(0.4+0.1)×0.1

10-3×5×0.5×0.4

=5m/s
（3）當金屬棒ab的速度增大時，小球所受電場力大于小球的重力，小球將向上做類平拋運動，設金屬棒ab的速度達到v₂，小球恰沿A金屬板右邊緣飛出．
根據小球運動的對稱性，小球沿A板右邊緣飛出和小球沿C板右邊緣飛出，其運動加速度相同，故有：
qE_場-mg=mg
根據上式中結果得到：v₂=

2mg(R+r)d

qBLR

=2v₁=10m/s，
所以若要使小球能射出金屬板間，則金屬棒ab的速度大小：0≤v≤10m/s，方向向右．
答：（1）小球的速度v₀為2m/s．
（2）若使小球在金屬板間不偏轉，則金屬棒ab的速度大小為5m/s，向右運動．
（3）若要使小球能從金屬板間射出，則金屬棒ab勻速運動的速度應滿足0≤v≤10m/s，方向向右．