Question

設想宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙圍繞火星做圓周運動的軌道艙．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，二者必須具有相同的速度．返回艙在返回過程中需克服火星引力做功W=mgR（1-

R

r

），式中各量分別為：返回艙與人的總質量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r，如圖所示．不計火星表面大氣對返回艙的阻力和火星自轉的影響．求：
（1）返回艙與軌道艙對接時，返回艙的動能；
（2）該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量，才能返回軌道艙？

Answer 1

分析：根據火星表面的重力等于萬有引力列出等式．
研究軌道艙繞衛星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求解宇航員乘坐返回艙與軌道艙對接時速度．
根據能量守恒求解返回軌道艙至少需要獲得的能量．

解答：解：（1）設火星的質量為M，軌道艙的質量為m₁．在火星表面處有g=G

M

R2

軌道艙繞火星做圓周運動時，應有G

Mm1

r2

=m1

v2

r

對接時，返回艙與軌道艙的速度相等．由以上兩式解得v返=v=

gR2 r

所以對接時返回艙的動能為Ek=

1

2

mv返2=

mgR2

2r

（2）設返回艙返回過程中需要的能量為E，由能量守恒定律知，E-W=E_k，
∵返回艙返回過程克服引力做功W=mgR（1-

R

r

）
∴E=W+Ek=mgR(1-

R

r

)+

mgR2

2r

=mgR(1-

R

2r

)
答：（1）返回艙與軌道艙對接時，返回艙的動能為

mgR2

2r

；
（2）該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得mgR(1-

R

2r

)的能量，才能返回軌道艙．

點評：向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．忽略星球自轉的影響，能根據萬有引力等于重力列出等式．