Question

設想宇航員完成了對火星表面的科學考察任務，乘坐返回艙返回圍繞火星做圓周運動的軌道艙，如圖所示．為了安全，返回艙與軌道艙對接時，必須具有相同的速度．已知返回艙返回過程中需克服火星的引力做功W=mgR(1-

R

r

)，返回艙與人的總質量為m，火星表面的重力加速度為g，火星的半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r．已知引力常量為G，求：
（1）火星的質量；
（2）火星的第一宇宙速度大小；
（3）軌道艙的運行速度大小；
（4）火星表面大氣阻力和返回艙的初速度不計，則該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量才能返回軌道艙？

Answer 1

分析：根據火星表面的重力等于萬有引力求解火星的質量．
研究軌道艙繞衛星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求解運行速度．
根據能量守恒求解返回軌道艙至少需要獲得的能量．

解答：解：（1）根據火星表面的重力等于萬有引力得：

GMm

R2

=mg
M=

gR2

G

（2）根據萬有引力提供向心力得：
第一宇宙速度大小v=

GM R

=

gR

（3）軌道艙繞衛星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力得：

GMm

r2

=m

v2

r

v=

GM r

=

gR2 r

（4）宇航員乘坐返回艙與軌道艙對接時，具有的動能為
E_k=

1

2

mv²=

mgR2

2r

因為返回艙返回過程克服引力做功W=mgR(1-

R

r

)
所以返回艙返回時至少需要能量mgR(1-

R

r

)+

mgR2

2r

．
答：（1）火星的質量是

gR2

G

；
（2）火星的第一宇宙速度大小是

gR

；
（3）軌道艙的運行速度大小是

mgR2

2r

；
（4）該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得mgR(1-

R

r

)+

mgR2

2r

能量才能返回軌道艙．

點評：向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．
忽略星球自轉的影響，根據萬有引力等于重力列出等式．