Question

如圖所示，在平行板電容器的兩板之間，存在相互垂直的勻強磁場和勻強電場，磁感應強度B₁=0.40T，方向垂直紙面向里，電場強度E=2.0×10⁵V/m，PQ為板間中線．緊靠平行板右側邊緣xOy坐標系的第一象限內，有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B₂=0.25T，磁場邊界AO和y軸的夾角∠AOy=45°．一束帶電量q=8.0×10^-19C的同位素正離子從P點射入平行板間，沿中線PQ做直線運動，穿出平行板后從y軸上坐標為（0，0.2m）的Q點垂直y軸射入磁場區，離子通過x軸時的速度方向與x軸正方向夾角在45°~90°之間，不計離子重力，求：

（1）離子運動的速度為多大？
（2）x軸上被離子打中的區間范圍？
（3）離子從Q運動到x軸的最長時間？
（4）若只改變AOy區域內磁場的磁感應強度大小，使離子都不能打到x軸上，磁感應強度大小B₂´應滿足什么條件？

Answer 1

（1）5.0×10⁵m/s（2）0.1m≤x≤（3）（4）B₂´≥0.60T

在有界磁場中帶電粒子的運動經常涉及到臨界問題，本題中帶電粒子剛好穿出的臨界條件就是與磁場邊界相切，計算過程中的思路是先找圓心，后求半徑
（1）：離子在兩板間時有：   解得：v=5.0×10⁵m/s  
（2）當通過x軸時的速度方向與x軸正方向夾角為45°時，
到達x軸上的M點，如圖所示，則：
r₁=0.2m 所以：OM=   
當通過x軸時的速度方向與x軸正方向夾角為90°時，
到達x軸上的N點，則：
r₂=0.1m      所以：ON=r₂=0.1m  
所以離子到達x軸的區間范圍是0.1m≤x≤  
（3）所有離子速度都相同，當離子運動路程最長時，時間也最長，由圖知當r=r₁時離子運動時間最長，則：t_m=
（4）由牛頓第二定律有：    則：  
當r=r₁時，同位素離子質量最大： 
若質量最大的離子不能穿過直線OA，則所有離子必都不能到達x軸，由圖可知使離子不能打到x軸上的最大半徑：      
設使離子都不能打到x軸上，最小的磁感應強度大小為B₀，則   
        
解得  B₀==0.60T       則：B₂´≥0.60T