Question

（1）已知地球質量為M，引力常量為G，在地心-恒星坐標系中，地球自轉周期為T．求同步衛星離地心的距離．
（2）已知地球半徑為R，在地心-恒星坐標系中，地球自轉周期為T，貼近地球運行的衛星的周期為T₀．求同步衛星離地心的距離．
（3）已知地球半徑為R，地面附近引力場強度約等于地面附近重力加速度g，在地心-恒星坐標系中地球自轉周期為T．求同步衛星離地心的距離．

Answer 1

分析：地球同步衛星的周期與地球自轉周期相同，同步衛星繞地球做圓周運動的向心力由萬有引力提供，應用萬有引力公式、向心力公式與牛頓第二定律可以求出同步衛星的軌道半徑，即衛星到地心的距離．

解答：解：地球對同步衛星的萬有引力提供同步衛星繞地球做圓周運的向心力，
設同步衛星離地心的距離為r，同步衛星的質量為m，
同步衛星繞地球做運轉運動的周期等于地球自轉周期T；
（1）由牛頓第二定律得：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，解得：r=

3	GMT2 4π2

；
（2）由牛頓第二定律得：
對同步衛星：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，
對貼近地球運行的衛星：G

Mm′

R2

=m′(

2π

T0

)2R，
解得：r=

3	T2 T 2 0

R；
（3）由牛頓第二定律得：G

Mm

r2

=m(

2π

T

)2r，
在地球表面的物體受到的重力等于地球對它的萬有引力，
即：G

Mm′

R2

=m′g，
解得：r=

3	gR2T2 4π2

；
答：（1）同步衛星離地心的距離為

3	GMT2 4π2

；（2）同步衛星離地心的距離為

3	T2 T 2 0

R；（3）同步衛星離地心的距離為

3	gR2T2 4π2

．

點評：衛星繞地球做圓周運動，人造地球衛星所受到的萬有引力充當向心力，故由向心力公式可求得線速度、角速度、周期等，選擇合適的公式列方程即可正確解題．