Question

如圖所示，A、B是靜止在水平地面上完全相同的兩塊長木板．A的左端和B的右端相接觸．兩板的質量皆為M=2.0kg，長度皆為l=1.0m．C是一質量為m=1.0kg的小物塊．現給它一初速度v₀=2.0m/s，使它從B板的左端開始向右滑動．已知地面是光滑的，而C與A、B之間的動摩擦因數皆為μ=0.10．求最后A、B、C各以多大的速度做勻速運動．取重力加速度g=10m/s²．

Answer 1

分析：以A、B、C組成的系統為研究對象，所受外力為零因此系統動量守恒，本題的難點在于判斷C最后是停在B上還是停留在A上，或者是三者都相互分離，可以通過假設法進行判斷C停留位置；同時注意過程中的功能轉換，以系統為研究研究對象時，系統損失的機械能轉化為內能即系統克服摩擦力做功．

解答：解：先假設小物塊C在木板B上移動x距離后，停在B上．這時A、B、C三者的速度相等，設為v，由動量守恒得：
mv₀=（m+2M）v   ①
在此過程中，木板B的位移為s，小木塊C的位移為s+x，由功能關系得：
對C有：-μmg(s+x)=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

    ②
此時AB是個整體有：μmgs=

1

2

×2Mv2     ③
②③相加得：-μmgx=

1

2

(m+2M)v2-

1

2

m 

v

2 0

  ④
解①、④兩式得：
x=

M v 2 0

(2M+m)μg

 
代入數值得：x=1.6m
x比B板的長度l大，這說明小物塊C不會停在B板上，而要滑到A板上．設C剛滑到A板上的速度為v₁，此時A、B板的速度為V₁，則由動量守恒得：
mv₀=mv₁+2MV₁  ⑤
由功能關系得：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 1

-

1

2

? 2M

V

2 1

=μmgl⑥
聯立⑤⑥帶入數據得：V1=

8± 24

20

m/s，v1=

2± 24

5

m/s
由于v₁必是正數，故合理的解是：V1=

8- 24

20

=0.155m/s，v1=

2+ 24

5

=1.38m/s
當滑到A之后，B即以V₁=0.155m/s做勻速運動，而C是以v₁=1.38m/s的初速在A上向右運動．設在A上移動了y距離后停止在A上，此時C和A的速度為V₂，由動量守恒得：
MV₁+mv₁=（m+M）V₂
解得：V₂=0.563m/s
由功能關系得：

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

V

2 1

-

1

2

(M+m)

V

2 2

=μmgy 
解得：y=0.50m
y比A板的長度小，故小物塊C確實是停在A板上．
故最后A、B、C的速度分別為：V_A=V₂=0.563m/s，V_B=V₁=0.155m/s，V_C=V_A=0.563m/s．

點評：動量守恒和功能關系相結合解決力與運動的問題是繼牛頓第二定律和動能定理之后的另一重要工具，要通過練習不斷加強理解和應用．