Question

【題目】如圖所示，半徑R=0.4m的四分之一光滑圓弧軌道固定在地面上，質量m=1kg的滑塊B（可視為質點）從圓弧軌道頂端正上方高為h=0.85m處自由落下，質量為M=2kg的木板A靜止在光滑水平上，其左端與固定臺階相距x，右端與圓軌道緊靠在一起，圓弧的底端與木板上表面水平相切．B從A右端的上表面水平滑入時撤走圓弧軌道，A與臺階碰撞無機械能損失，不計空氣阻力，AB間動摩擦因數μ=0.1，B始終不會從A表面滑出，取g=10m/s2，求：

（1）滑塊B運動到圓弧底端時對軌道的壓力；

（2）若A與臺階碰前，已和B達到共速，求從B滑上A到達到共同速度的時間；

（3）若要使木板A只能與臺階發生一次碰撞，求x應滿足的條件以及木板A的最小長度．

Answer 1

【答案】(1) 72.5N，方向豎直向下 (2) 3.3s (3) 12.5m

【解析】

（1）滑塊B由初位置到圓弧軌道底端：

mg（h+R）=mv12

得

v1=5m/s

圓弧軌道最低點：

FN-mg=m

得

FN=72.5N．

由牛頓第三定律滑塊對軌道的壓力為72.5N，方向豎直向下

（2）B滑上A系統動量守恒：

mv1=（M+m）v共．

對B：

-μmgt=mv共-mv1

得

t≈3.3s

（3）①B滑上A到A與臺階碰前：對A：

μmgx=Mv22-0

對AB系統：

mv1=mv3+Mv2．

且A與臺階只碰一次，需滿足：

Mv2≥mv3

得

x≥m≈1.6m．

②設最終AB共速為vAB，兩者相對位移為L

-μmgL=（M+m）vAB2-mv12．

分析可知：vAB越小，L越大，即x取m時，AB的末速度vAB=0．

此時

L=12.5m

所以木板A的至少長度為12.5m．