Question

甲、乙兩個行星的質量之比為81：1，兩行星的半徑之比為36：1．則：
（1）兩行星表面的重力加速度之比；
（2）兩行星的第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析：（1）在行星表面，物體的重力近似等于其受到的萬有引力，根據萬有引力定律列式求解；
（2）衛星環繞行星表面附近做勻速圓周運動的速度，即為第一宇宙速度，根據萬有引力等于向心力，列式求解．

解答：解：（1）在行星表面，質量為m的物體的重力近似等于其受到的萬有引力，則
   G

Mm

R2

=mg
則得 g=

GM

R2

故得：

g甲

g乙

=

M甲

M乙

×

R 2 乙

R 2 甲

=

81

1

×

1

362

=

1

16

 
（2）行星表面的環繞速度即為第一宇宙速度，做勻速圓周運動的向心力是萬有引力提供的，則
  G

Mm

R2

=

mv12

R

得v₁=

GM R

（1分）
故得：

v甲1

v乙1

=

M甲 M乙 × R乙 R甲

=

81 1 × 1 36

=

3

2

答：
（1）兩行星表面的重力加速度之比；為1：16．
（2）兩行星的第一宇宙速度之比為3：2．

點評：對于衛星問題，常常根據萬有引力等于重力求星球表面的重力加速度，由萬有引力等于向心力求其速度．