Question

（14分）如圖所示，傾角θ = 60°的粗糙平直導(dǎo)軌與半徑為R的光滑圓環(huán)軌道相切，切點(diǎn)為B，輕彈簧一端固定，自由端在B點(diǎn)，整個(gè)軌道處在豎直平面內(nèi)。現(xiàn)將一質(zhì)量為m的小滑塊（視為質(zhì)點(diǎn)）緊靠且壓縮彈簧，并從導(dǎo)軌上離水平地面高h(yuǎn) = R的A處無初速下滑進(jìn)入圓環(huán)軌道，恰能到達(dá)圓環(huán)最高點(diǎn)D，不計(jì)空氣阻力。滑塊與平直導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ = 0.5，重力加速度大小為g。求：

（1）滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最高點(diǎn)D時(shí)速度υ_D的大小；
（2）滑塊運(yùn)動(dòng)到圓環(huán)最低點(diǎn)時(shí)受到圓環(huán)軌道支持力N的大小；
（3）滑塊在A處時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能E_p。

Answer 1

（1）（2）N = 6mg  （2）mgR 

（1）滑塊恰能到達(dá)圓環(huán)最高點(diǎn)D，說明滑塊在D點(diǎn)時(shí)重力恰好提供向心力，即
mg = m                        2分
得     υ_D =                       1分
（2）小滑塊從C→D，由機(jī)械能守恒定律得
mυ_C² = mυ_D² + mg·2R         2分
υ_C =                      1分
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，有
N– mg = m                 2分
得     N = 6mg                       1分
（2）AB之間長(zhǎng)度
L = [h–（R– Rcosθ）]/sinθ= R    1分
平直導(dǎo)軌對(duì)滑塊的滑動(dòng)摩擦力
f = μmgcosθ = mg              1分       
從A→C，根據(jù)能量守恒定律有
mυ_C² + fL = E_p + mgh             2分
得     E_p = mgR                      1分
本題考查圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用，在最高點(diǎn)通過的臨界條件是只有重力提供向心力，從C到D可通過機(jī)械能守恒定律求得C點(diǎn)速度，在C點(diǎn)由支持力和重力的合力提供向心力，列式求解可得，在A到B間，通過動(dòng)能定理可求得勢(shì)能大小