Question

如圖所示，在方向豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場中，有兩條相互平行且相距L的光滑金屬導軌P₁P₂P₃-Q₁Q₂Q₃，兩導軌間用阻值為R的電阻連接，導軌P₂P₃、Q₂Q₃在同一水平面上，P₂Q₂⊥P₂P₃，傾斜導軌和水平導軌均用相切的一小段光滑圓弧連接，其長度可以略去不計．在傾角為 θ的斜導軌P₁P₂-Q₁Q₂上放置一根質量為m的細金屬桿AB，桿AB始終垂直于導軌并與導軌保持良好接觸．現用沿P₁P₂方向的拉力F施加于桿AB，使桿AB在高h處由靜止開始向下做勻加速直線運動，當桿AB運動到P₂Q₂處時撤去拉力，最終在CD處停下，測得CD與P₂Q₂之間的距離為s．不計導軌和桿AB的電阻，不計空氣阻力．求：
（1）桿AB下滑的過程中通過電阻R的電荷量q；
（2）桿AB運動到P₂Q₂處時的速度大小υ
（3）回路中的最大感應電流I_m和桿AB在斜導軌上的加速度大小a．

Answer 1

分析：（1）桿AB下滑的過程中，可以根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電量公式q=

.

I

?△t求解電量．回路磁通量的變化為：△Ф=B?Lhcotθ．
（2）對AB桿，運用動量定理求解速度v的大小．
（3）當桿AB運動到水平軌道的P₂Q₂處時，垂直切割磁感線，產生的感應電動勢最大，回路中的感應電流最大．根據法拉第定律和歐姆定律求解最大感應電流I_m．因桿AB在斜導軌上做勻加速直線運動，可由運動學公式求解加速度a大小．

解答：解：（1）設桿AB下滑過程中所用的時間為△t．則下滑過程中的平均感應電動勢為：
 

.

E

=

△Ф

△t

…①
平均電流：

.

I

=

. E

R

…②
又 q=

.

I

?△t…③
由①②③解得：q=

△Ф

R

…④
而△Ф=B?Lhcotθ…⑤
由④⑤可得：q=

BLhcotθ

R

…⑥
（2）設桿AB在P₂Q₂處的速度大小為v．在水平導軌上運動的過程中，由動量定理得：
-B

.

I′

L?△t′=-mv…⑦
又 q′=

.

I′

?△t′…⑧
與④式同理可得：q′=

△Ф′

R

=

BLs

R

…⑨
由⑦⑧⑨解得：v=

B2L2s

mR

  
（3）桿AB運動到水平軌道的P₂Q₂處時，回路中的感應電流最大．
 感應電動勢最大值為：E_m=BLv．
則 I_m=

Em

R

=

B3L3s

mR2

桿AB在斜導軌上做勻加速直線運動，則有：v²=2a?

h

sinθ

．
所以有：a=

v2sinθ

2h

=

B4L4s2sinθ

2m2R2h

．
答：（1）桿AB下滑的過程中通過電阻R的電荷量q為

BLhcotθ

R

；
（2）桿AB運動到P₂Q₂處時的速度大小v為

B2L2s

mR

． 
（3）回路中的最大感應電流I_m為

B3L3s

mR2

．桿AB在斜導軌上的加速度大小a為

B4L4s2sinθ

2m2R2h

．

點評：解決本題時，推導電量的經驗公式q=

△Ф

R

和運用動量定理求速度是解題的關鍵，并能抓住感應電荷量與動量定理之間的內在聯系．