Question

在圖甲中A和B是真空中的兩塊面積很大的平行金屬板，A、B問的電壓U邶隨時間變化的規律如圖乙所示，在圖甲中O點到A和B的距離皆為l，在O處不斷地產生電荷量為叭質量為m的帶負電的微粒，不計重力，不考慮微粒之間的相互作用，這種微粒產生后，從靜止出發在電場力的作用下運動，設微粒一旦碰到金屬板，就附在板上不再運動，且其電量同時消失，不影響A、B板的電勢。已知交變電壓的周期T=6.0×10^-3 s。正電壓為U₀，負電壓為-2U₀，且U₀=3.0×10²V，微粒電荷量q=2.0×10^-7 C，質量m=1.0×10^-9 kg，l=0.3 m。試求：

(1)在t=0時刻從靜止出發的微粒，會在t₁時刻到達極板，求t₁的值?

(2)若在t=0到t=T／2這段時間內的某一時刻t₂產生的微粒剛好不能到達A板，求t₂的值?

(3)求t₂時刻產生的微粒到達B板所需的時間?

Answer 1

解：(1)設在t=0時刻產生的微粒在t₁時刻到達A板，且t₁＞T／2.

在此過程中微粒加速度a₁=m／s²=1×10⁵ m／s²

由l=得：t₁=×10^-3 s=2.45×10^-3 s

t₁＜T／2，所以假設成立，該微粒在t₁=2.45×10^-3 s的時刻到達A板。

(2)設在t=0到t=T／2這段時間內的t₂時刻產生的微粒剛好不能到達A板，若再設此微粒在T／2～T時間內的t₃時刻以達A板時的速度剛好為零。T/2～t₃時間內的加速度的大小為：

a₂==2×10⁵ m／s²

微粒在T／2時刻的速度

u₁=a₁(-t₂)=a₂(t₃)

微粒在t₂～t₃時間內的位移

l=a₁(-t₂)²+a₂(t₃)²

聯立解得：t₂=1×10^-3 s，t₃=4×10^-3 s＜T，所以假設成立，t₂=1×10^-3 s時刻產生的微粒剛好不能到達A極板。

(3)t₂時刻產生的微粒在t₃時刻到達A板時速度為零，并立即返回，在t₃～T時間內向B板運動，加速度為a₂，則其位移s₁為：

s₁=a₂(T-T₃)²=×2×10⁵×(6.0×10^-3-4.0×10^-3)2=0.4m＜2l

此時速度v₁=a₂(T-t₃)=400 m／s

接著微粒以加速度a₁向左減速運動，設運動時間為t，由運動學公式s₂=v₁ta₁t²有：

0.2=400t×1×10⁵ t²

解得：t=(4)×10^-3=0.536×10^-3 s＜

別解t=(4+)×10^-3舍去

故t₂時刻產生的微粒到達B板所需的時間

t₀=(T-t₂)+t=5.536×10^-3 s