Question

【題目】如圖甲所示，彎曲部分AB和CD是兩個半徑都為r=0.3m的四分之一圓弧軌道，中間的BC段是豎直的薄壁細圓管（細圓管內徑略大于小球的直徑）軌道，分別與上下圓弧軌道相切連接，BC的長度L=0.2m．下圓弧軌道與水平軌道相切，其中D、A分別是上下圓弧軌道的最高點和最低點，整個軌道固定在豎直平面內．現有一質量M=0.3kg的小球以一定的速度沿水平軌道向右運動并從A點進入圓弧，不計小球運動中的一切阻力，g=10m/s2求：

（1）當小球由D點以10m/s的速度水平飛出時，小球落地點與D點的水平距離、由D到落地點過程中動量的變化量的大小；
（2）當小球由D點以3m/s的速度水平飛出時，小球過圓弧A點時對軌道的壓力大小；
（3）若在D點右側連接一半徑為R=0.4m的半圓形光滑軌道DEF，如圖乙所示，要使小球不脫離軌道運動，小球在水平軌道向右運動的速度大小范圍（計算結果可用根式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：小球從D點以10m/s的速度水平飛出后做平拋運動，由平拋運動規律可得：

2r+L= ，

代入數據解得 t=0.4s

所以落地點與D點的水平距離 x=vDt=10×0.4m=4m；

根據動量定理可得△P=Mgt=1.2Ns；

答：當小球由D點以10m/s的速度水平飛出時，小球落地點與D點的水平距離為4m、由D到落地點過程中動量的變化量的大小為1.2Ns；

（2）由A到D的過程，由機械能守恒定律可得：Mgh+ MvD2= MvA2

在A點，由牛頓第二定律可得：FN﹣Mg=M ；

聯立解得 FN=28N

由牛頓第三定律知，小球過圓弧A點時對軌道的壓力 FN′=FN=28N

答：當小球由D點以3m/s的速度水平飛出時，小球過圓弧A點時對軌道的壓力大小為28N；

（3）討論一：

小球進入軌道最高運動到C點，之后原路返回，由機械能守恒定律，有：

Mg（R+L）= Mv12

得 v1= ；

討論二：小球進入軌道后恰好能通過圓弧最高點D，之后沿DEF運動而不脫離軌道，在D點，有

Mg=M ，其中R=0.4m

從A到D由機械能守恒定律可得：

有：Mgh+ Mv2= Mv22

得 v2=2 m/s

所以要使小球在運動過程中能不脫離軌道，初速度大小的范圍為：v1≤ m/s或v2≥2 m/s

答：小球在水平軌道向右運動的速度大小范圍為v1≤ m/s或v2≥2 m/s．

【解析】（1）小 球水平飛出后做平拋運動。根據題目中的已知，結合平拋運動的規律進行求解。最后根據動量定理求出過程中，動量的變化量。
（2）小球在上升到最高點的過程中。滿足機械能守恒且在最高點合外力等于向心力，聯立方程組求解即可。
（3）要使小球不脫離軌道小球應繼續做圓周運動。可能由C點返回A點，也可能超過D點后沿DEF軌道回到A點，根據機械能守恒定律列式求解即可。