Question

某興趣小組舉行遙控賽車比賽，比賽路徑如圖所示．可視為質(zhì)點(diǎn)的賽車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L=10m后，由B點(diǎn)進(jìn)入半徑R=0.4m的光滑豎直半圓軌道，并通過軌道的最高點(diǎn)C做平拋運(yùn)動(dòng)，落地后才算完成比賽．B是半圓軌道的最低點(diǎn)，水平直線軌道和半圓軌道相切于B點(diǎn)．已知賽車質(zhì)量m=0.5Kg，通電后電動(dòng)機(jī)以額定功率P=3W工作，賽車在水平軌道上受到的阻力恒為f=0.4N，之后在運(yùn)動(dòng)中受到的軌道阻力均可不計(jì)，g取10m/s²．試求：
（1）賽車能通過C點(diǎn)完成比賽，其落地點(diǎn)離B點(diǎn)的最小距離
（2）要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)工作的最短時(shí)間．
（3）若賽車過B點(diǎn)速度v_B=8.0m/s，R為多少時(shí)賽車能完成比賽，且落地點(diǎn)離B點(diǎn)的最大距離．

Answer 1

分析：（1）小車做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)重力提供向心力時(shí)速度最小，由牛頓第二定律可以求出最小速度，離開C后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)可以求出小車的水平位移．
（2）從A到C應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出電動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間．
（3）由B到C由機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理求出到C的速度，離開C后小車做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出小車水平位移的表達(dá)式，然后求出最大水平位移．

解答：解：（1）賽車以最小速度通過最高點(diǎn)C，其落地點(diǎn)離B點(diǎn)的距離最小，在最高點(diǎn)C由牛頓第二定律得：mg=m

v 2 C

R

，解得：v_C=

gR

=2m/s，離開C后小車做平拋運(yùn)動(dòng)，
在水平方向：x=v_Ct，在豎直方向：2R=

1

2

gt²，解得：x=0.8m；
（2）設(shè)電動(dòng)機(jī)工作的最短時(shí)間為t，賽車從A到C過程，由動(dòng)能定理得：
Pt-fL-2mgR=

1

2

m

v

2 c

-0
解得：t=3s；
（3）設(shè)軌道半徑為R，B到C過程賽車機(jī)械能守恒得：

1

2

m

v

2 B

=mg2R+

1

2

m

v

2 c

vc=

v 2 B -4Rg

，
賽車離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)水平位移為x，
在水平方向：x=v_Ct，在豎直方向：2R=

1

2

gt²，
解得：x=

v 2 B -4Rg

4R g

=

( v 2 B g -4R)4R

，
當(dāng)

v 2 B

g

-4R=4R時(shí)，即R=0.80m時(shí)，最大水平位移為x_m=3.2m；
答：（1）賽車能通過C點(diǎn)完成比賽，其落地點(diǎn)離B點(diǎn)的最小距離為0.8m；
（2）要使賽車完成比賽，電動(dòng)機(jī)工作的最短時(shí)間為3s．
（3）若賽車過B點(diǎn)速度v_B=8.0m/s，R為0.8m時(shí)賽車能完成比賽，且落地點(diǎn)離B點(diǎn)的最大距離為3.2m．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚小車的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用牛頓第二定律、動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)即可正確解題．