Question

月球自轉一周的時間與月球繞地球運行一周的時間相等，都為T₀．我國的“嫦娥1號”探月衛星于2007年11月7日成功進入繞月運行的“極月圓軌道”，這一圓形軌道通過月球兩極上空，距月面的高度為h．若月球質量為M，月球半徑為R，萬有引力恒量為G．
（1）求“嫦娥1號”繞月運行的周期．
（2）在月球自轉一周的過程中，“嫦娥1號”將繞月運行多少圈？
（3）“嫦娥1號”攜帶了一臺CCD攝相機（攝相機拍攝不受光照影響），隨著衛星的飛行，攝像機將對月球表面進行連續拍攝．要求在月球自轉一周的時間內，將月面各處全部拍攝下來，攝像機拍攝時拍攝到的月球表面寬度至少是多少？

Answer 1

分析：（1）“嫦娥1號”軌道半徑為r=R+h，根據月球對“嫦娥1號”萬有引力等于“嫦娥1號”所需要的向心力列方程求解“嫦娥1號”繞月運行的周期T．
（2）在月球自轉一周的過程中，“嫦娥1號”繞月運行的圈數等于“嫦娥1號”的周期與月球自轉周期之比．
（3）攝像機只要將月球的“赤道”拍攝全，便能將月面各處全部拍攝下來；衛星繞月球轉一周可對月球“赤道”拍攝兩次，由拍攝到的月球表面寬度與月球周長的關系求解．

解答：解：（1）“嫦娥1號”軌道半徑r=R+h，
          G

mM

r2

=m

4π2

T 2

r  
    可得“嫦娥1號”衛星繞月周期T=2π

(R+h)3 GM

   （2）在月球自轉一周的過程中，“嫦娥1號”將繞月運行圈數n=

T0

T

=

T0

2π

GM (R+h)3

   （3）攝像機只要將月球的“赤道”拍攝全，便能將月面各處全部拍攝下來；衛星繞月球轉一周可對月球“赤道”拍攝兩次，所以攝像機拍攝時拍攝到的月球表面寬度至少為s=

2πR

2n

=

2π2R

T0

(R+h)3 GM

答：（1）“嫦娥1號”繞月運行的周期為2π

(R+h)3 GM

．
    （2）在月球自轉一周的過程中，“嫦娥1號”將繞月運行

T0

2π

GM (R+h)3

圈．
    （3）要求在月球自轉一周的時間內，將月面各處全部拍攝下來，攝像機拍攝時拍攝到的月球表面寬度至少是

2π2R

T0

(R+h)3 GM

．

點評：本題考查應用物理知識分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運用萬有引力等于向心力研究．