Question

 一傾角α（α＜２°）的斜劈固定在水平地面上，高為h，光滑小球從斜劈頂點由靜止開始下滑，到達底端Ｂ所用時間為t₁，將通過Ａ、Ｂ兩點的斜劈剜成一個圓弧面，使圓弧面在Ｂ點與底面相切，小球從Ａ沿圓弧運動到Ｂ，所用時間為t₂，求t₁與t₂的比值。

Answer 1

4: π

要求兩種運動時間的比值需要求出兩種運動的時間，光滑小      
球從斜劈頂點由靜止開始下滑，做勻加速直線運動，這是一個同學的熟悉
的運動模型，應用牛頓運動定律和運動學公式即可求解．但是把斜面剜成
圓弧面則不易求解．同學會感覺無從下手，無限分割，變曲為直，數學知識又跟不上，幾乎無法求解．但是分析發現剜成圓弧面在Ｂ點與底面相切，以Ｂ點為中心，在其右側補償一個對稱的圓弧面，小球的運動即變成了一個同學們都熟悉的簡諧運動模型了，小球沿ＡＢ弧運動的時間為類單擺運
動周期的四分之一。
如圖２（α），小球斜劈頂點，由靜止開始，做勻加速直線運動，其加速度a=g?sina根據勻變速運動的位移公式　Ｓ＝at² 有
=at²=　g?sina?t²₁
∴ t₁=
將圖２（b）以Ｂ點為中心，在其右側補償一個與ＡＢ圓弧對稱的ＢＣ圓弧如圖３，設ＡＢＣ圓弧的對應半徑為Ｒ分析小球受力可知在a<2°的情況下，有２a<4°，小球在ＡＢＣ圓弧上的運動可近看作簡諧運動，且有小球運動的回復力Ｆ＝－?x　周期為Ｔ＝２π,根據圖示，
有L－h=2L?cos2a
∴ L==
∴ T=2π
t₂=T=?2π=?
∴ t₁:t₂＝?    ?="4:" π