2006年浙江杭州市余杭中學高三第一次校本檢測
數 學 試 卷（理）
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第Ⅰ卷（選擇題 共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的，請把正確答案涂填在答案紙指定位置．
1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件，那么
A．甲是乙的充分但不必要條件 B．甲是乙的必要但不充分條件
C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
2．若
、
表示直線，
表示平面，則下列命題中，正確的個數為
①
②
③
④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．從8名女生，4名男生中選出6名學生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法種數為
A．
B．
C．
D．
4．過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°則該截面的面積是
A．π
B．2π C．3π
D．
5．為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了該地區100名年齡為17．5歲－18歲的男生體重(kg) ,得到頻率分布直方圖如下：
根據上圖可得這100名學生中體重在〔56．5,64．5〕的學生人數是
A．20
B．
6．甲、乙、丙3位同學用計算機聯網學習數學，每天上課后獨立完成6道自我檢測題，甲答及格的概率為
，乙答及格的概率為
，丙答及格的概率為
，3人各答1次，則3人中只有1人答及格的概率為
A．
B．
C．
D．
7．4名男生3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，則不同的排法種數有
A．1440
B．
8．如圖，正三棱柱
的各棱長都2，E，F分別是
的中點，則EF的長是
A．2
B．
C． 
D．
9． 已知
,且關于
的方程
有實根,則
與
的夾角的取值范圍是
A．[0,
] B．
C．
D．
10．對于任意的兩個實數對
和
，規定：
，當且僅當
；運算“
”為：
；運算“
”為：
，設
，若
，則
A．
B． 
C． 
D． 
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
11．已知向量
，
，則
的最大值為
_____▲____。
12．接種某疫苗后，出現發熱反應的概率為0．80，現有5人接種了該疫苗，至少有3人出現發熱反應的概率為 __▲__ 。（精確到0．01）
13．設離散型隨機變量
可能取的值為1，2，3，4。
（
1，2，3，4）。又的數學期望
，則
▲ 。
14．如圖，正方體ABCD-A1B
①點E到平面ABC1D1的距離是
；
②直線BC與平面ABC1D1所成角等于45°；
③空間四邊形ABCD1，在正方體六個面內的射影圍成面積最小值為；
④BE與CD1所成角為arcsin
．
其中真命題的編號是___▲_____（寫出有真命題的編號）
三、解答題：本大題共6小題，共84分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
在二項式
中，如果它的展開式里系數最大的項恰好是不含x的常數項；
（1）問常數項是第幾項？
（2）求
的取值范圍．
16．（本小題滿分14分)
已知7件產品中有4件正品和3件次品．
（1）從這7件產品中一次性隨機抽取3件，求正品件數不少于次品件數的概率；
（2）從這7件產品中一次性隨機抽取5件，記其中次品件數為，求的數學期望。
17．（本小題滿分14分）
甲、乙、丙3人投籃,投進的概率分別是, , ．
（1）現3人各投籃1次,求3人都沒有投進的概率;
（2）用ξ表示乙投籃3次的進球數,求隨機變量ξ的概率分布及數學期望Eξ．
18．（本小題滿分14分）
在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（1）證明AB⊥平面VAD；
（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的大�。�
19．（本題滿分14分）
設
．
（1）求
，
，
，
的值，并據此猜測數列
的通項公式；
（2）用數學歸納法證明你的猜測．
20．（本小題滿分14分）
從原點出發的某質點M，按向量
，按向量
移動的概率為
，設M可到達點（0，n）的概率為Pn．
（1）求P1和P2的值；
（2）求證：
；
（3）求Pn的表達式．
一、選擇題：BCCAC ABCBC
二、填空題：
11． 
12． 0．94
13． 
14． ②③④
三、解答題：
15解：（1）在二項式中
展開式的通項
依題意 12-3r=0, r=4． ……………………5分
常數項是第5項． ……… ……………7分
（2）第r項的系數為
∴
∴ 
∴ 
……10分
∴ 
的取值范圍 
． ……14分
16．解：（1）抽出的產品中正品件數不少于次品件數的
可能情況有
----------2分
從這7件產品中一次性隨機抽出3件的所有可能有
----------4分
抽出的產品中正品件數不少于次品件數的概率為
----------7分
1
2
3
P
（2）
----10分
-------14分
17解: （1）記“甲投籃1次投進”為事件A1，“乙投籃1次投進”為事件A2，“丙投籃1次投進”為事件A3，“3人都沒有投進”為事件A．則 P(A1)= ，P(A2)= ，P(A3)= ，
∴ P(A) = P()=P()?P()?P()
= [1－P(A1)] ?[1－P (A2)] ?[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)= ---------6分
∴3人都沒有投進的概率為 ． --------7分
（2）解法一: 隨機變量ξ的可能值有0，1，2，3)， ξ~ B(3， )， ---------9分
P(ξ=k)=C3k()k()3－k (k=0，1，2，3) ---------11分
Eξ=np = 3× = ． ---------14分
ξ
0
1
2
3
P
解法二: ξ的概率分布為:
Eξ=0×+1×+2×+3×= ．
18．解：（1）作AD的中點O，則VO⊥底面ABCD．建立如圖空間直角坐標系，并設正方形邊長為1，則A（
，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，
）
……3分
∴
…4分
由
……5分
……6分
又AB∩AV=A ∴AB⊥平面VAD…………………7分
（2）由（Ⅰ）得
是面VAD的法向量，設
是面VDB的法向量，則
……10分
∴
，…………………………………12分
又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為
………14分
19．解：（1）
，
，
，
猜測：
．
……（6分）
（2）用數學歸納法證明如下：
① 當
時，，
，等式成立；……（8分）
�、� 假設當
時等式成立，即，
成立，……（9分）
那么當
時，
，
即時等式也成立．……（13分）
由①，②可得，
對一切正整數
都成立．……（14分）
20．解：（1）
……（3分）
（2）M到達（0，n+2）有兩種情況
……（5分）
……（8分）
（3）數列
為公比的等比數列
……（14分）
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