撫州一中2009屆高三第四次模擬考試
數學試卷（理）
命題人 ：高三數學組 考試時間 ：2009.5
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．設
是實數，且
是純虛數，則的值是 （ ）
2．若曲線
的一條切線
的斜率為
，則切線的方程是 （ ）
3．已知三條不重合的直線
，兩個不重合的平面
，有下列命題
①
，
； ②
，
，
；
③
；
④
，
，
，
.
其中正確的命題個數是 （ ）
4．從圓
外一點
向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（ ）
5．對于使
成立的所有常數
中，我們把的最小值叫做
的上確定界.若
，且
，則
的上確界為（ ）
6．已知
，且
，其中
，則
的值有可能是（ ）
或
或
或
7．設
為
所在平面內一點，且
，則
的面積與 的面積
比為 （ ）
8．二項式
展開式中，所有有理項（不含
的項）的系數之和為 （ ）
9．
五人爭奪某項比賽的前三名，組織者對前三名發給不同的獎品，若
獲獎，
不是第一名，則不同的發獎方式共有 （ ）
72種 30種 24種 14種
10．數列
滿足：
，
，
若
對于任意
都成立，則正整數
的最小值為( )
11．設
，
分別為具有公共焦點
與
的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足
，則
的值為 （ ）
12．定義在
上的函數
滿足：
，
，
，且當
時，
，則
的值為 （ ）
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.
13．若
，則
；
14．已知點A，B，C，D在同一球面上，AB
平面
，
，若
，
，
，則B、C兩點間的球面距離是 ；
15．如果點
在不等式組
所表示的平面區域內，則
的取值范圍是 ；
16．設函數
，
表示不超過實數m的最大整數，則函數
的值域是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本題滿分12分）
已知四棱錐
的底面
是正方形，側棱
的中點
在底面內的射影恰好是正方形的中心
，頂點
在截面
內的射影恰好是
的重心
．
（1）求直線
與底面所成角的正切值；
（2）設
，求此四棱錐過點
的截面面積．
18．（本題滿分12分）
某鮮花店的鮮花進價為每束
元，銷售價為每束元．若當天沒有銷完，則以每束
元的價格處理掉．假如某一天該鮮花店訂購鮮花數量是
束、
束或
束，鮮花需求量
的分布列是：
（束）
p
試問：（1）這一天鮮花需求量的期望值是多少？
（2）該花店這一天應訂購多少束鮮花盈利最大？
19. （本題滿分12分）
在銳角中，已知
，且
，
.
（1）求角與
的大小；
（2）
是以為圓心，
為半徑的圓的直徑，已知
，求
的最大值.
20．（本題滿分12分）
已知
，
，其中
.
(1)當
時，求證
；
(2)若的最小值為，試求的值.
21．（本題滿分12分）
已知直線
，拋物線的頂點在原點，焦點在
軸正半軸上，
是拋物線上任意一點，
是直線上任意一點，若
的最小值為
時,點的橫坐標為.
（1）求拋物線方程以及
的值；
（2）過拋物線的對稱軸上任一點
作直線與拋物線交于
兩點，點
是點關于原點的對稱點.設點分有向線段
所成的比為
，
證明:
;
（3）設
為拋物線準線上任意一點，過作拋物線的兩條切線，切點分別為
,直線
是否恒過一定點？若恒過定點，請指出定點；若不恒過定點，請說明理由.
22．（本題滿分14分）
已知數列滿足遞推關系且
.
（1）在
時，求數列的通項
；
(2) 當
時，數列滿足不等式
恒成立，求
的取值范圍；
(3) 在
時，證明：
.
撫州一中2009屆高三第四次模擬考試
一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
B
D
D
C
A
A
B
A
C
D
一、
填空題13.
； 14.
； 15.
；16.
，即
，當m為整數時，值為0，m為小數時，值為-1，故所求值域為{-1,0}
三、解答題
１7．（1）
兩兩相互垂直, 連結
并延長交
于F．
同理可得
， 
…… (6分)
（2）
是
的重心
F是SB的中點
梯形的高
，
.…… (12分)
【注】可以用空間向量的方法.
18．（1）
.…………4分
（2）若該天訂購
束鮮花，則盈利為
元；
若該天訂購
束鮮花，盈利為
，則其分布列為
（元）.
若該天訂購
束鮮花，盈利為
，則其分布列為
（元）.
綜上可知，該花店這一天應訂購束鮮花盈利最大. …………12分
19．（1）
.
又
.
.………6分
（2）
又
，
.從而
當
且同向時，
.………12分
20．（1）當
時，
，
，令
.
列表分析：
故在
上滿足
，從而
.
設
，
，令
，
在上為減函數，故
，由于 
，從而
.……6分
（2）
.
①若
，則
，
，
，令
，矛盾.
②若
，令
.
，令
.
③若
，則
，
，令
，得
（舍去）.
綜合①②③知
. ……12分
21．（1）設拋物線方程為
，
由
∴
，∴拋物線方程為
；
…………4分
（2）依題意，可設直線
的方程為 
代入拋物線方程得
①
設
兩點的坐標分別是 
、
、
是方程①的兩根.…………6分
所以 
由點
分有向線段
所成的比為
，得
又點
與點
關于原點對稱，故點的坐標是
，從而
.
……7分
所以 
…………8分
（3）設
，
，
，∵
，
∴
的方程為
；
∵過，∴
，同理
∴
為方程
的兩個根；∴
；……11分
又
，∴
的方程為
∴
，顯然直線過點
……12分
22．（1）
……4分
(2)由
，而
，
， 
，
，
恒成立，
，
，即
．……8分
(3) 由(2)得當
時知，，設數列
，
，
.
，
，故
，
，
，
，
即
………14分
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