2009年高考數學難點突破專題輔導十四
難點14 數列綜合應用問題
縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關數列的試題出現的頻率較高，不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系，而且還與三角、立體幾何密切相關；數列作為特殊的函數，在實際問題中有著廣泛的應用，如增長率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養老保險，圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外，還要善于觀察題設的特征，聯想有關數學知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數列題的速度.
●難點磁場
(★★★★★)已知二次函數y=f(x)在x=
處取得最小值－
(t＞0),f(1)=0.
(1)求y=f(x)的表達式；
(2)若任意實數x都滿足等式f(x)?g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］為多項式，n∈N*),試用t表示an和bn；
(3)設圓Cn的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項都是正數的等比數列，記Sn為前n個圓的面積之和，求rn、Sn.
●案例探究
［例1］從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少
，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加
.
(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元，旅游業總收入為bn萬元，寫出an,bn的表達式；
(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入？
命題意圖：本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識；考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力，本題有很強的區分度，屬于應用題型，正是近幾年高考的熱點和重點題型，屬★★★★★級題目.
知識依托：本題以函數思想為指導，以數列知識為工具，涉及函數建模、數列求和、不等式的解法等知識點.
錯解分析：(1)問an、bn實際上是兩個數列的前n項和，易與“通項”混淆；(2)問是既解一元二次不等式又解指數不等式，易出現偏差.
技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數量關系，建立數量模型是本題的靈魂，(2)問中指數不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.
解：(1)第1年投入為800萬元，第2年投入為800×(1－)萬元，…第n年投入為800×(1－)n－1萬元，所以，n年內的總投入為
an=800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1=
800×(1－)k－1
=4000×［1－(
)n］
第1年旅游業收入為400萬元，第2年旅游業收入為400×(1+)，…，第n年旅游業收入400×(1+)n－1萬元.所以，n年內的旅游業總收入為
bn=400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1=400×(
)k－1.
=1600×［()n－1］
(2)設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入，由此bn－an＞0，即：
1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0，令x=()n，代入上式得：5x2－7x+2＞0.解此不等式，得x＜
，或x＞1(舍去).即()n＜，由此得n≥5.
∴至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入.
［例2］已知Sn=1+
+…+
,(n∈N*)設f(n)=S2n+1－Sn+1,試確定實數m的取值范圍，使得對于一切大于1的自然數n，不等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－
［log(m－1)m］2恒成立.
命題意圖：本題主要考查應用函數思想解決不等式、數列等問題，需較強的綜合分析問題、解決問題的能力.屬★★★★★級題目.
知識依托：本題把函數、不等式恒成立等問題組合在一起，構思巧妙.
錯解分析：本題學生很容易求f(n)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處理.
技巧與方法：解決本題的關鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數，此時不等式的恒成立就轉化為：函數f(n)的最小值大于［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2.
解：∵Sn=1++…+.(n∈N*)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)是關于n的增函數
∴f(n) min=f(2)=
∴要使一切大于1的自然數n，不等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
只要
＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立即可
由
得m＞1且m≠2
此時設［logm(m－1)］2=t 則t＞0
于是
解得0＜t＜1
由此得0＜［logm(m－1)］2＜1
解得m＞
且m≠2.
●錦囊妙計
1.解答數列綜合題和應用性問題既要有堅實的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應用性問題，應充分運用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關等差(比)數列、遞推數列模型，再綜合其他相關知識來解決問題.
2.縱觀近幾年高考應用題看，解決一個應用題，重點過三關：
(1)事理關：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要一定的閱讀能力.
(2)文理關：需將實際問題的文字語言轉化數學的符號語言，用數學式子表達數學關系.
(3)事理關：在構建數學模型的過程中；要求考生對數學知識的檢索能力，認定或構建相應的數學模型，完成用實際問題向數學問題的轉化.構建出數學模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實的基礎知識和較強的數理能力.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★★)已知二次函數y=a(a+1)x2－(2a+1)x+1，當a=1，2，…，n，…時，其拋物線在x軸上截得的線段長依次為d1,d2，…,dn,…,則
(d1+d2+…+dn)的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空題
2.(★★★★★)在直角坐標系中，O是坐標原點，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個點，若1，x1，x2，4依次成等差數列，而1，y1，y2，8依次成等比數列，則△OP1P2的面積是_________.
3.(★★★★)從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_________升.
4.(★★★★★)據
三、解答題
5.(★★★★★)已知數列{an}滿足條件：a1=1,a2=r(r＞0),且{anan+1}是公比為q(q＞0)的等比數列，設bn=a2n－1+a2n(n=1,2,…).
(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立的q的取值范圍；
(2)求bn和
，其中Sn=b1+b2+…+bn；
(3)設r=219.2－1，q=
，求數列{
}的最大項和最小項的值.
6.(★★★★★)某公司全年的利潤為b元，其中一部分作為獎金發給n位職工，獎金分配方案如下：首先將職工按工作業績(工作業績均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎金
元，然后再將余額除以n發給第2位職工，按此方法將獎金逐一發給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發展基金.
(1)設ak(1≤k≤n)為第k位職工所得獎金金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)；
(2)證明ak＞ak+1(k=1,2,…,n－1),并解釋此不等式關于分配原則的實際意義；
(3)發展基金與n和b有關，記為Pn(b),對常數b，當n變化時，求Pn(b).
7.(★★★★)據有關資料，1995年我國工業廢棄垃圾達到7.4×108噸，占地562.4平方公里，若環保部門每年回收或處理1噸舊物資，則相當于處理和減少4噸工業廢棄垃圾，并可節約開采各種礦石20噸，設環保部門1996年回收10萬噸廢舊物資，計劃以后每年遞增20%的回收量，試問：
(1)2001年回收廢舊物資多少噸？
(2)從1996年至2001年可節約開采礦石多少噸(精確到萬噸)？
(3)從1996年至2001年可節約多少平方公里土地？
8.(★★★★★)已知點的序列An(xn，0),n∈N,其中x1=0,x2=a(a＞0),A3是線段A1A2的中點，A4是線段A2A3的中點，…，An是線段An－2An－1的中點，….
(1)寫出xn與xn－1、xn－2之間關系式(n≥3);
(2)設an=xn+1－xn，計算a1,a2,a3，由此推測數列{an}的通項公式，并加以證明；
(3)求xn.
難點磁場
解：(1)設f(x)=a(x－
)2－，由f(1)=0得a=1.
∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1.
(2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：
(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1，上式對任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得：
且t≠0，解得an=
［(t+1)n+1－1］，bn=
［1－(t+1
n)
(3)由于圓的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上，又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=
｜an+1－an｜=(t+1)n+1?
設{rn}的公比為q，則
②÷①得q=
=t+1，代入①得rn=
∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=
［(t+1)2n－1］
殲滅難點訓練
一、1.解析：當a=n時y=n(n+1)x2－(2n+1)x+1
由｜x1－x2｜=
，得dn=
，∴d1+d2+…+dn
答案：A
二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差數列得：2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比數列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,
∴P1(2,2),P2(3,4).∴
=(3,4)
∴
答案：1
3.解析：第一次容器中有純酒精a－b即a(1－
)升，第二次有純酒精a(1－)－
，即a(1－)2升，故第n次有純酒精a(1－)n升.
答案：a(1－)n
4.解析：從2001年到2005年每年的國內生產總值構成以95933為首項，以7.3%為公比的等比數列，∴a5=95933(1+7.3%)4≈120000(億元).
答案：120000
三、
5.解：(1)由題意得rqn－1+rqn＞rqn+1.由題設r＞0,q＞0,故從上式可得：q2－q－1＜0，解得
＜q＜
,因q＞0,故0＜q＜;
(2)∵
.b1=1+r≠0，所以{bn}是首項為1+r，公比為q的等比數列，從而bn=(1+r)qn-1.
當q=1時，Sn=n(1+r),
,從上式可知，當n－20.2＞0，即n≥21(n∈N*)時，Cn隨n的增大而減小，故
1＜Cn≤C21=1+
=2.25 ①
當n－20.2＜0，即n≤20(n∈N*)時，Cn也隨n的增大而減小，故1＞Cn≥C20=1+
=－4 ②
綜合①②兩式知，對任意的自然數n有C20≤Cn≤C21,故{Cn}的最大項C21=2.25，最小項C20=－4.
6.解：(1)第1位職工的獎金a1=
，第2位職工的獎金a2=
(1－)b，第3位職工的獎金a3=(1－)2b，…，第k位職工的獎金ak= (1－)k－1b;
(2)ak－ak+1=
(1－)k－1b＞0，此獎金分配方案體現了“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則.
(3)設fk(b)表示獎金發給第k位職工后所剩余數，則f1(b)=(1－)b,f2(b)=(1－)2b,…,fk(b)=(1－)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1－)nb,
故
.
7.解：設an表示第n年的廢舊物資回收量，Sn表示前n年廢舊物資回收總量，則數列{an}是以10為首項，1+20%為公比的等比數列.
(1)a6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(萬噸)
(2)S6=
=99.2992≈99.3(萬噸)
∴從1996年到2000年共節約開采礦石20×99.3≈1986(萬噸)
(3）由于從1996年到2001年共減少工業廢棄垃圾4×99.3=397.2(萬噸)，
∴從1996年到2001年共節約：
≈3 平方公里.
8.解：(1)當n≥3時，xn=
;
由此推測an=(－
)n-1a(n∈N)
證法一：因為a1=a＞0,且
(n≥2)
所以an=(－)n-1a.
證法二：用數學歸納法證明：
(?)當n=1時，a1=x2－x1=a=(－)0a,公式成立；
(?)假設當n=k時，公式成立，即ak=(－)k－1a成立.
那么當n=k+1時，
ak+1=xk+2－xk+1=
據(?)(?)可知，對任意n∈N，公式an=(－)n-1a成立.
(3)當n≥3時，有xn=(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1
=an－1+an－2+…+a1,
由(2)知{an}是公比為－的等比數列，所以
a.
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