上海市九校
2009屆第二學期高三聯考試卷
數學(文科)
命題人：大團高級中學 （李青）
一．填空題（本大題滿分60分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得5分，否則一律得零分．
1、 函數
的定義域為 .
2、若向量
，則向量
的夾角等于
3、 已知數列
的前
項和為
，若
，則
.
4、方程 
在區間
內的解集
5、如圖，程序執行后輸出的結果為_________
6、將圓錐的側面展開恰為一個半徑為2的半圓，
則圓錐的體積是 .
7、復數
滿足
，
則復數
對應的點
的軌跡方程
8. 已知函數
的反函數是
，
則函數的圖象必過定點
9、若函數
是以5為周期的奇函數，
，且
，
則
=
10、
的展開式中的常數項為
11、已知點
在不等式組
所表示的平面區域內，
則
的值域為
12、如果若干個函數的圖象經過平移后能夠重合，則這些函數為“互為生成”函數。
給出下列函數：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
，
其中“互為生成”函數有 （把所有可能的函數的序號都填上）
二．選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內），一律得零分。
13、函數
的圖象大致是
…………………………（ ）
14、若動直線
與函數
和
的圖像分別交于
兩點，
則
的最大值為
…………………………（ ）
A．1 B．
D．
15、給出下面四個命題：
①“直線a、b為異面直線”的充分非必要條件是：直線a、b不相交；
②“直線l垂直于平面
內所有直線”的充要條件是：l⊥平面；
③“直線a⊥b”的充分非必要條件是“a垂直于b在平面內的射影”；
④“直線∥平面
”的必要非充分條件是“直線a至少平行于平面內的一條直線”．
其中正確命題的個數是 ………………………… （ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
16、給出如下三個命題：
① 三個非零實數
、
、
依次成等比數列的充要條件是
；
② 設、
,且
，若
，則
；
③ 若
，則
是偶函數.
其中假命題的序號是 …………………………………………… （ ）
A. ①②③ B . ①③ C. ①② D. ②③
三、解答題 (本大題滿分74分)本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17、（本題滿分12分）
如圖，在四棱錐
中，底面為直角梯形，
，
垂直于底面
，
分別為
的中點。
求異面直線
與
所成的角。
解：
18、（本題滿分12分）
如圖，海上一小島
上有一燈塔，在它周圍方圓
海里范圍內布滿暗礁．一艘船由西向東航行，行至
處測得島在它的北
東，繼續前進
海里后至
處，測得島在它的
東．如果繼續沿原方向前進，船是否有觸礁的危險？
解：
19、（本題滿分14分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分, 第3小題滿分6分.
定義在R上的單調函數
滿足
且對任意
∈R都有
,
(1)求
的函數值；
(２)判斷的奇偶性，并證明；
(3)若
對于任意
∈R恒成立，求實數
的取值范圍．
解：
20、（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分.
已知公差大于零的等差數列
的前n項和為Sn，且滿足：
，
．
（1）求數列的通項公式
；
（2）若數列
是等差數列，且
，求非零常數c；
（3）若(2)中的的前n項和為
，求證：
解：
21、（本題滿分20分）本題共有3個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分, 第3小題滿分6分.
如圖，已知橢圓
的焦點和上頂點分別為
、
、，
我們稱
為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的 特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為
橢圓的相似比.
（1）已知橢圓
和
，
判斷
與
是否相似，
如果相似則求出與的相似比，若不相似請說明理由；
（2）已知直線
,與橢圓相似且半短軸長為的橢圓
的方程，
在橢圓上是否存在兩點
、
關于直線
對稱，
若存在，則求出函數
的解析式.
（3）根據與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，提出你認為有價值的
相似橢圓之間的三種性質（不需證明）；
解：
上海市九校2008學年第二學期高三數學（文科）
一、 填空題：
1、
2、
3、128 4、
5、64 6、
7、
8、
9、-4 10、15 11、
12、（1）（2）（5）
二、選擇題：
13、D 14、 C 15、 B 16、 C
17、解：以A為原點，以AB、AD、AP所在直線分別
軸，
建立空間直角坐標系。 -----2分
則 C（2，1，0） N（1，0，1） 
=（-1，-1，1）---4分
D（0，2，0） M（1，
，1） 
=（1，-
，1）---6分
設與的夾角為
，
----8分
---10分
異面直線
與
所成的角為 -----12分
18、解：延長
，作
交于D，------4分
設
，則
------8分
解得
．------10分
故船繼續朝原方向前進有觸礁的危險．-----12
19、解： (1)因為f(x+y)=f(x)+f(y)，
令x=y=0，代入①式，-----2分
得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 --------4分
（２）令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，
則有0=f(x)+f(-x)．------6分
即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函數．．．．．．．8分
(3) f(3)=log
3＞0，即f(3)＞f(0)，
又f(x)在R上是單調函數，所以f(x)在R上是增函數，----10分
又由(1)f(x)是奇函數．
f(k?3
)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，
k?3＜-3+9+2，
得
------12分
------------１4分
20、解：（1）
為等差數列，∵
，又
，
∴ 
，
是方程
的兩個根
又公差
，∴
，∴
，
-------- 2分
∴ 
∴
∴
-----------4分
（2）由(1)知，
-----------5分
∴
∴
，
，
------------7分
∵
是等差數列，∴
，∴
----------8分
∴
（
舍去）
------------9分
（3）由(2)得
-------------11分
，
時取等號 ------- 13分
，
時取等號15分
(1)、(2)式中等號不可能同時取到，所以
-----------16分
21、解：（1）橢圓
與
相似. -----2分
因為的特征三角形是腰長為4，底邊長為
的等腰三角形，
而橢圓的特征三角形是腰長為2，
底邊長為
的等腰三角形，
因此兩個等腰三角形相似，且相似比為
.
---
6分
（2）橢圓
的方程為：
.
--------8分
假定存在，則設
、
所在直線為
，
中點為
.
則
.
-------10分
所以
.
中點在直線
上，所以有
. ----12分
.
. -------14分
（3）橢圓的方程為：.
兩個相似橢圓之間的性質有： 寫出一個給2分
① 兩個相似橢圓的面積之比為相似比的平方；
② 分別以兩個相似橢圓的頂點為頂點的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；
③ 兩個相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點重合；
過原點的直線截相似橢圓所得線段長度之比恰為橢圓的相似比. ----20分
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