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奉賢區(qū)2009年高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科卷）2009.03

（完卷時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）

命題人員：陶慰樹、張建權(quán)、姚志強(qiáng)

一、填空題：（共55分，每小題5分）

1、方程的解是。

試題詳情

2、不等式的解集為。

試題詳情

3、已知復(fù)數(shù)z＝－i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a= 。

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4、在極坐標(biāo)系中，是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，則三角形OAB的面積為

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5、若的二項(xiàng)展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)a的值為．

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6、在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字中任取不重復(fù)的3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，則組成的三位數(shù)是奇數(shù)的概率是。（用分?jǐn)?shù)表示）

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7、關(guān)于函數(shù)有下列命題：

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①的定義域是；②是偶函數(shù)；③在定義域內(nèi)是增函數(shù)；④的最大值是，最小值是。其中正確的命題是。（寫出你所認(rèn)為正確的所有命題序號）

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8、已知直角三角形的兩直角邊長分別為3cm和4cm，則以斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為。

試題詳情

9、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，前n項(xiàng)和為，若，則公比為的取值范圍是。

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10、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，若對滿足條件，不等式恒成立，則的取值范圍是。

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11、現(xiàn)有31行67列表格一個(gè)，每個(gè)小格都只填1個(gè)數(shù)，從左上角開始，第一行依次為1，2，…67；第二行依次為68，69…134；…依次把表格填滿�，F(xiàn)將此表格的數(shù)按另一方式填寫，從左上角開始，第一列從上到下依次為1，2…，31；第二列從上到下依次為32，33，…，62；…依次把表格填滿。對于上述兩種填法，在同一小格里兩次填寫的數(shù)相同，這樣的小格在表格中共有_________個(gè)。

試題詳情

二、選擇題：（共20分，每小題5分）

12、條件p：不等式的解；條件q：不等式的解。則p是q的????????????????????????（）

A、充分非必要條件； B、必要非充分條件；

C、充要條件； D、非充分非必要條件。

試題詳情

13、如圖給出了一個(gè)算法流程圖，該算法流程圖的功能是（）

A、求三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)

B、求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)

C、按從小到大排列

D、按從大到小排列

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14、在正方體中，點(diǎn)E在A₁C₁上，且，則???????（）。

試題詳情

（A），（B），

試題詳情

（C），（D）.

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15、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，如果對于任意D，存在唯一的D使＝c（c為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)在D上“與常數(shù)c關(guān)聯(lián)”。

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現(xiàn)有函數(shù)：①；②；③；④_，其中滿足在其定義域上“與常數(shù)4關(guān)聯(lián)”的所有函數(shù)是 -----（）

（A） ①② （B） ③④ （C） ①③④ （D） ①③

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三、簡答題（75分）

16、（本題12分，第（1）小題6分，第（2）小題6分）

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在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求異面直線B₁C₁與AC所成角的大��；

(2)若直線A₁C與平面ABC所成角為45°,

求三棱錐A₁-ABC的體積.

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17、（本題14分，第（1）小題6分，第（2）小題8分）

試題詳情

已知函數(shù)

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（1）將寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；

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（2）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b²=ac，且邊b所對的角為，試求角的范圍及此時(shí)函數(shù)的值域.

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18、（本題14分，第（1）小題5分，第（2）小題9分）

某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80ㄇ出售；同時(shí)，當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎(jiǎng)券:

消費(fèi)金額(元)的范圍

[200,400)

[400,500)

[500,700)

[700,900)

…

獲得獎(jiǎng)券的金額(元)

100

130

…

試題詳情

根據(jù)上述促銷方法,顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如：購買標(biāo)價(jià)為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為：400×0.2+30=110（元）。設(shè)購買商品的優(yōu)惠率= 。

試問：

（1）購買一件標(biāo)價(jià)為1000的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？

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（2）對于標(biāo)價(jià)在[500,800)（元）內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價(jià)為多少元的商品，可得到不小于的優(yōu)惠率？

試題詳情

19、（本題16分，第（1）小題4分，第（2）小題7分，第（3）小題5分）

試題詳情

已知點(diǎn)集，其中，，點(diǎn)列在L中，為L與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列的公差為1，。

試題詳情

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

試題詳情

（2）若＝_，令；試用解析式寫出關(guān)于的函數(shù)。

試題詳情

（3）若＝_，給定常數(shù)m(),是否存在，使得，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

試題詳情

20、（本題19分，第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題9分）

試題詳情

已知：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，若記點(diǎn)P的軌跡為曲線C。

（1）求曲線C的方程。

（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB。求證：直線L過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

試題詳情

（3）試?yán)盟鶎W(xué)圓錐曲線知識參照（2）設(shè)計(jì)一個(gè)與直線過定點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并解答所提問題。

（本小題將根據(jù)你所設(shè)計(jì)問題的不同思維層次予以不同評分）

試題詳情

一、填空題 (每題5分)

1) 2) 3)0 4) 5) 6) 7）②④ 8） 9） 10） 11）7

二、選擇題(每題5分)

12、A 13、B 14、D 15、D

三、解答題

16、16、

（1）因?yàn)?sub>，所以∠BCA（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角 -------(3分)

∠ABC=90°, AB=BC=1，所以， -------(2分)

即異面直線與所成角大小為。 -------(1分)

（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，所以即為直線A₁C與平面ABC所成角，所以。 -------(2分)

中，AB=BC=1得到，中，得到， -------(2分)

所以 -------(2分)

17、 -------(1分)

= -------(1分)

若為其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)，即=0， -------(1分)

， -------(1分)

解得： -------(1分)

（2）， -------(2分)

即，而，所以。 -------(2分)

，， -------(2分)

所以 ------(2分)

18、，顧客得到的優(yōu)惠率是。 -------(5分)

(2)、設(shè)商品的標(biāo)價(jià)為x元，則500≤x≤800 ----- -(2分)

消費(fèi)金額： 400≤0.8x≤640

由題意可得：

_（₁_）≥ 無解 ------(3分)

_或（₂_） ≥ 得：625≤x≤750 ------(3分)

因此，當(dāng)顧客購買標(biāo)價(jià)在元內(nèi)的商品時(shí)，可得到不小于的優(yōu)惠率。------(1分)

19、（1）y＝? ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1 -----(1分)

與軸的交點(diǎn)為，所以； -----(1分)

所以，即， -----(1分)

因?yàn)?sub>在上，所以，即 -----(1分)

（2）設(shè) （），

即（） ----(1分)

（A）當(dāng)時(shí)，

----(1分)

==，而，所以 ----(1分)

（B）當(dāng)時(shí)， ----(1分)

= =， ----(1分)

而，所以 ----(1分)

因此（） ----(1分)

（3）假設(shè)，使得，

（A）為奇數(shù)

（一）為奇數(shù)，則為偶數(shù)。則，。則，解得：與矛盾。 ----(1分)

（二）為偶數(shù)，則為奇數(shù)。則，。則，解得：（是正偶數(shù)）。 ----(1分)

（B）為偶數(shù)

（一）為奇數(shù)，則為奇數(shù)。則，。則，解得：（是正奇數(shù)）。 ----(1分)

（二）為偶數(shù)，則為偶數(shù)。則，。則，解得：與矛盾。 ----(1分)

由此得：對于給定常數(shù)m()，這樣的總存在；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，。 ----(1分)

20、（1）解法（A）：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線＋4＝0的距離小2，所以點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線＋2＝0的距離相等。 ----(1分)

由拋物線定義得：點(diǎn)在以為焦點(diǎn)直線＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線上， ----(1分)

拋物線方程為。 ----(2分)

解法（B）：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則。當(dāng)時(shí)，，化簡得：，顯然，而，此時(shí)曲線不存在。當(dāng)時(shí)，，化簡得：。

（2），

，

， ----(1分)

，

，即，， ----(2分)

直線為，所以 ----(1分)

----(1分)

由（a）（b）得：直線恒過定點(diǎn)。 ----(1分)

1、（逆命題）如果直線，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。求證：OA⊥OB （評分：提出問題得1分，解答正確得1分）

（若，求證：?=0，得分相同）

2、（簡單推廣命題）如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB。求證：直線L過定點(diǎn)（2p，0）

或：它的逆命題（評分：提出問題得2分，解答正確得1分）

3、（類比）

3．1（1）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn)，M是其右頂點(diǎn)，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(diǎn)(,0)

3．1（2）如果直線L與橢圓＋＝1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn)，M是其左頂點(diǎn)，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(diǎn)(,0)

3．1（3）或它的逆命題

3．2（1）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點(diǎn)，M是其右頂點(diǎn)，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(diǎn)(,0)(a≠b)

3．2（2）如果直線L與雙曲線－＝1(a>0,b>0)相交于A、B兩點(diǎn)，M是其左頂點(diǎn)，當(dāng)MA⊥MB。求證：直線L過定點(diǎn)(,0)(a≠b)

3．2（3）或它的逆命題

（評分：提出問題得3分，解答正確得3分）

4、（再推廣）

直角頂點(diǎn)在圓錐曲線上運(yùn)動(dòng)

如：如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn)，P是拋物線上一定點(diǎn)(,)，且PA⊥PB。求證：直線L過定點(diǎn)(＋2p,－)

（評分：提出問題得4分，解答正確得3分）

5、（再推廣）

如果直線L與拋物線＝2px(p>0)相交于A、B兩點(diǎn)，P是拋物線上一定點(diǎn)(,)，PA與PB的斜率乘積是常數(shù)m。求證：直線L過定點(diǎn)(－,－)

（評分：提出問題得5分，解答正確得4分）

或?為常數(shù)

頂點(diǎn)在圓錐曲線上運(yùn)動(dòng)并把直角改為一般定角或OA與OB的斜率乘積是常數(shù)或?為常數(shù)

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