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⑴M=  ，非零向量=

⑵ M= ，非零向量=

⑶M＝ ，非零向量＝，

解：⑴ M=  ==3，所以M與共線(xiàn)。

⑵ M=   =，而與不共線(xiàn)。 即此時(shí)M與不共線(xiàn)。

⑶M與共線(xiàn)。

二、新課內(nèi)容：

1、定義：

設(shè)二階矩陣A ，對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量，使得A＝λ，那么λ稱(chēng)為A的一個(gè)特征值，而稱(chēng)為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量。

幾何觀點(diǎn)：特征向量的方向經(jīng)過(guò)變換矩陣A的作用后，保持在同一直線(xiàn)上。λ＞0方向不變；λ＜0方向相反；λ＝0，特征向量就被變換成零向量。

思考問(wèn)題：特征向量與特征值如何求？又有什么用

2、特征向量與特征值的求法

A=，λ為其一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為=，根據(jù)定義有

=λ，有不全為0的解，于是

=0這樣可以求出特征值，代入可以求相應(yīng)的特征向量

定義：設(shè)A=是一個(gè)二階矩陣，λ為實(shí)數(shù)，則f(λ)==λ²-（a+d）λ+ad-bc稱(chēng)A的特征多項(xiàng)式

例1、求的特征值和特征向量，并從幾何角度解釋

解：f(λ)==(λ+1)(λ-1)=0,λ=1或λ=-1

λ=1時(shí)=，解為y=0，故屬于1的特征向量為

λ=-1時(shí)=，解為x=0，故屬于-1的特征向量為

總之，的特征值為-1及1，屬于1的特征向量為；屬于-1的特征向量為

關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的變換，x軸、y軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量作用后共線(xiàn)

練習(xí)：求矩陣M=  的特征值和特征向量（M= 有兩個(gè)特征值₁=4，₂=-2，

屬于₁=4的一個(gè)特征向量為，屬于₂=-2的一個(gè)特征向量為。）

   3、特征值和特征向量的用途

     M=，λ₁、λ₂為其一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為、，則對(duì)于任意正整數(shù)n及，

Mⁿ=?有沒(méi)有一般的規(guī)律？

由平面向量知識(shí)知，存在實(shí)數(shù)a,b使=a+b, M= M(a+b)=M( a)+M(b)

= a(M)+b(M)=aλ₁+bλ₂，

   M²=M(M)=M( aλ₁+bλ₂)=aλ₁(M)+bλ₂(M)= aλ₁²+bλ₂²

   ………

   Mⁿ= aλ₁ⁿ+bλ₂ⁿ

  這樣得到結(jié)論：  M=，λ₁、λ₂為其一個(gè)特征值，對(duì)應(yīng)的特征向量為、，則對(duì)于任意正整數(shù)n及， Mⁿ= aλ₁ⁿ+bλ₂ⁿ

例3、 已知：矩陣M= ，向量 = 求M³

解：由上題可知₁ =,₂ =是矩陣M=        分別對(duì)應(yīng)特征值₁=4，₂=-2的兩個(gè)特征向量，而₁與₂不共線(xiàn)。又==3+=3₁+₂

∴M³= M³(3₁+₂)=3 M³₁+ M³₂ =3₁³₁+₂³₂=3×4³+(-2)³×

     =192×-8×==

練習(xí)：已知M＝，＝，試計(jì)算M⁵⁰

S2:將所求向量用特征向量表示

S3:根據(jù)結(jié)論求值