湖北省黃岡中學2009屆高三第二次模擬考試
數 學 試 題（理）
命題：熊 斌 審稿：程金輝 校對：羅歡
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1. 已知集合
，
集合
，則集合M、P之間的關系是
A．
B．
C．
D．
2．如果復數
為純虛數，則
A． 
B．
3. 在
的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中常數項是
A、 
B、
D、28
4. 已知函數
的反函數為
，在
上的導函數為
，則
=
A．
B．
C．
D．
5. 
是圓
上任意一點，若不等式
恒成立，則c的取值范圍是
A、
B、
C、
D、
6. 對于任意實數
，要使函數
在區間
上的值
出現的次數不小于
次，又不多于
次，則
可以取
A. 
B. 
C.
D.
7．有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是
A．234
B．
8. 橢圓
的左、右焦點分別為
、
，
是橢圓上一點，
為左準線，
，垂足為
，若四邊形
為平行四邊形，則橢圓的離心率的取值范圍是
A．
) B．
) C．
D．
9．在半徑為
的球內有一內接正三棱錐，它的底面三個頂點恰好都在同一個大圓上，一個動點從三棱錐的一個頂點出發沿球面運動，經過其余三點后返回，則經過的最短路程是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
10. 已知函數
．規定：給定一個實數
，賦值
，若
，則繼續賦值
，…，以此類推，若
≤244，則
，否則停止賦值，如果得到
稱為賦值了n次
．已知賦值k次后該過程停止，則的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空題：本大共5小題,每小題5分,共25分,把答案填在答題卡的相應位置．
11．某大型超市銷售的乳類商品有四種：純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉，且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有
種、
種、
種、
種不同的品牌．現 采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為
的樣本進行三聚氰胺安全檢測，若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數是
，則
．
12.已知平面向量
的夾角為
，
13.
是偶函數，其在
上是增函數，如果
時，不等式
恒成立，則實數
的取值范圍是
14. 
將正奇數排列如下表其中第
行第
個數表示
，例如
，若
，
則
．
15. 給出下列命題：
①．函數
和
的圖象關于直線
對稱.
②．在上連續的函數
若是增函數，則對任意
均有
成立.
③．已知函數
的交點的橫坐標為
的值為
.
④．底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐.
⑤．若
為雙曲線
上一點，
、
分別為雙曲線的左右焦點，且
，則
或
.
其中正確的命題是＿＿＿＿（把所有正確的命題的選項都填上）
三、解答題（本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本題滿分12分）
已知函數
（1）若函數
；
（2）設
，若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍.
17. (本小題滿分12分)
某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間
(單位：年)有關. 若
，則銷售利潤為
元；若
，則銷售利潤為
元；若
，則銷售利潤為
元．設每臺該種電器的無故障使用時間，及這三種情況發生的概率分別為
，
，
，叉知，是方程
的兩個根，且
（1）求，，的值；
（2）記
表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，求的期望.
18. (本小題滿分12分)
已知直四棱柱ABCD―A1B
的中點，M為線段AC1的中點.
（1）求證：直線MF∥平面ABCD；
（2）求證：平面AFC1⊥平面ACC
（3）求平面AFC1與與平面ABCD所成二面角的大小.
19．(本小題滿分12分)
已知
的三邊長
成等差數列，若點
的坐標分別為
．
（1）求頂點
的軌跡
的方程；
（2）若線段
的延長線交軌跡于點
，當
時求線段
的垂直平分線與
軸交點的橫坐標的取值范圍．
20. (本小題滿分13分)
已知函數
（1）求
；
（2）已知數列
滿足
,
,求數列的通項公式；
（3）
求證:
.
21．(本小題滿分14分)
設函數
.
（1） 判斷
在區間
上的增減性并證明之；
（2） 若不等式
≤≤
對
恒成立, 求實數的取值范圍M；
（3）設≤≤
，若
，求證：
≥.
湖北省黃岡中學2009屆高三第二次模擬考試
1
11. 
． 12.
13. 
14. 60 15. ①③
16．解：（Ⅰ）∵
-
∴
，(3分)
∴
又已知點
為
的圖像的一個對稱中心。∴
而
（6分）
（Ⅱ）若
，
（9分）
∵
，∴
即m的取值范圍是
（12分）
17. 解：（1）由已知得
，∵
，∴
∵
、
是方程
的兩個根，∴
∴
，
………………6分
（2）
的可能取值為0，100，200，300，400
，
，
，
，
即的分布列為：
故
………12分
18解法一：
（1）延長C
所以F為C1N的中點，B為CN的中點。????2分
又M是線段AC1的中點，故MF∥AN。?????3分
又MF
平面ABCD，AN
平面ABCD。
∴MF∥平面ABCD。 ???5分
（2）證明：連BD，由直四棱柱ABCD―A1B
可知A
平面ABCD，
∴A
又∵AC∩A平面ACC
∴BD⊥平面ACC
在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC平面AFC1
∴平面AFC1⊥ACC
（3）由（2）知BD⊥ACCACC
又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C
在Rt△C
，故∠C
∴平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。???12分
19.解：（Ⅰ）因為
成等差數列，點
的坐標分別為
所以
且
由橢圓的定義可知點
的軌跡是以為焦點長軸為4的橢圓（去掉長軸的端點），
所以
．故頂點的軌跡
方程為
．…………4分
（Ⅱ）由題意可知直線
的斜率存在，設直線方程為
．
由
得
，
設
兩點坐標分別為
，則
，
，所以線段CD中點E的坐標為
,故CD垂直平分線l的方程為
，令y=0，得
與
軸交點的橫坐標為
，由
得
，解得
，
又因為
，所以
．當時，有
，此時函數
遞減，所以
．所以，
．
故直線與軸交點的橫坐標的范圍是
．
………………12分
20．解:(1)因為
所以設S=
（1）
S=
……….(2)(1)+(2)得:
=
, 所以S=3012
(2)由
兩邊同減去1,得
所以
,
所以
,
是以2為公差以
為首項的等差數列,
所以
（3）因為
所以
所以
>
21．解：(1)∵ 
∴
…1分
設
則
……2分
∴
在
上為減函數 又
時，
，
∴
∴
在上是減函數………4分(2)①
∵
∴
或
時
∴
…………………………………6分
又≤
≤
對一切
恒成立 ∴≤≤
……………8分
②顯然當
或
時，不等式成立
…………………………9分
當
，原不等式等價于
≥
………10分
下面證明一個更強的不等式：≥
…①
即
≥
……②亦即
≥
…………………………11分
由(1) 知在
上是減函數 又
∴
……12分
∴不等式②成立，從而①成立 又
∴＞
綜合上面∴≤≤
且≤≤
時，原不等式成立 ……………………………14分
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