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因為cosA≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因為xR,所以.

當時，f(x)有最大值，

當sinx=-1時，f(x)有最小值-3，

所以所求函數f(x)的值域是

（18）（本小題滿分12分）

三人獨立破譯同一份密碼.已知三人各自破譯出密碼的概率分別為且他們是否破譯出密碼互不影響.

 (Ⅰ)求恰有二人破譯出密碼的概率；

(Ⅱ)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由.

解：本小題考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數學知識分析問題、解決問題的能力..

記“第i個人破譯出密碼”為事件A₁(i=1,2,3)，依題意有

且A₁，A₂，A₃相互獨立.

（Ⅰ）設“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則有

B＝A₁?A₂??A₁??A₃+?A₂?A₃且A₁?A₂?，A₁??A₃，?A₂?A₃

彼此互斥

于是P(B)=P(A₁?A₂?)+P（A₁??A₃）+P（?A₂?A₃）

　　　　＝

　　　　＝.

答：恰好二人破譯出密碼的概率為.

（Ⅱ）設“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D.

D＝??，且，，互相獨立，則有

P（D）＝P（）?P（）?P（）＝＝.

而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.

答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大.

（19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P―ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.

(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求點A到平面PCD的距離.

解：本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力..

解法一：

（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.

又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.

因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=?2=.

又S△=

設點A到平面PCD的距離h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACD?OP＝S_△PCD?h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系O-xyz.

則A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以，

，

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為，

（Ⅲ）設平面PCD的法向量為n＝（x₀,y₀,x₀），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

＝0，所以　　-x₀+ x₀=0_,

n?＝0，　　　　-x₀+ y₀=0，
即x₀=y₀=x₀,　　　

取x₀=1，得平面的一個法向量為n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

從而點A到平面PCD的距離d＝

（20）（本小題滿分12分）

已知｛a_n｝是正數組成的數列，a₁=1，且點（）（nN*）在函數y=x²+1的圖象上.

(Ⅰ)求數列｛a_n｝的通項公式；

(Ⅱ)若列數｛b_n｝滿足b₁=1,b_n+1=b_n+，求證：b_n       ?b_n+2＜b²_n+1.

解：本小題考查等差數列、等比數列等基本知識，考查轉化與化歸思想，推理與運算能力.解法一：

（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1,

所以數列｛a_n｝是以1為首項，公差為1的等差數列.

故a_n=1+(a-1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n=n從而b_n+1-b_n=2ⁿ.

b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+­­­­­­­­­­­???+（b₂-b₁）+b₁

=2^n-1+2^n-2+???+2+1

＝=2ⁿ-1.

因為b_n?b_n+2-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2^n-1-1)²

=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2²ⁿ⁺²-2-2ⁿ⁺¹-1)

=-5?2ⁿ+4?2ⁿ

=-2ⁿ＜0,

所以b_n?b_n+2＜b,

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因為b₂=1,

b_n?b_n+2- b=(b_n+1-2ⁿ)(b_n+1+2ⁿ⁺¹)- b

            =2ⁿ⁺¹?b_n-1-2ⁿ?b_n+1-2ⁿ?2ⁿ⁺¹

＝2ⁿ（b_n+1-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n-2ⁿ）

=…

=2ⁿ（b₁-2）

=-2ⁿ〈0，

所以b_n-b_n+2<b²_n+1

 (21)（本小題滿分12分）

已知函數的圖象過點（-1，-6），且函數的圖象關于y軸對稱.

(Ⅰ)求m、n的值及函數y=f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若a＞0，求函數y=f(x)在區間（a-1,a+1）內的極值.

解：（21）本小題主要考察函數的奇偶性、單調性、極值、導數、不等式等基礎知識，考查運用導數研究函數性質的方法，以及分類與整合、轉化與化歸等數學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.滿分12分.

解：（1）由函數f(x)圖象過點（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

則g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;

而g(x)圖象關于y軸對稱，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0.

于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的單調遞增區間是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0<x<2,

故f(x)的單調遞減區間是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

X

(-∞.0)

0

(0,2)

2

(2,+ ∞)

f′(x)

+

0

－

0

＋

f(x)

極大值

極小值

由此可得：

當0<a<1時，f(x)在（a-1,a+1）內有極大值f(O)=-2,無極小值；

當a=1時，f(x)在（a-1,a+1）內無極值；

當1<a<3時，f(x)在（a-1,a+1）內有極小值f(2)＝－6，無極大值；

當a≥3時，f(x)在（a-1,a+1）內無極值.

綜上得：當0<a<1時，f(x)有極大值－2，無極小值，當1<a<3時，f(x)有極小值－6，無極大值；當a=1或a≥3時，f(x)無極值.

(22)（本小題滿分14分）

如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l:x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M.

 (?)求證：點M恒在橢圓C上；

(?)求△AMN面積的最大值.

解：)本小題主要考查直線與橢圓的位置關系、軌跡方程、不等式等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力。

解法一：

（Ⅰ）由題設a=2,c=1,從而b²=a²-c²=3,

所以橢圓C前方程為.

(Ⅱ)(i)由題意得F(1,0),N(4,0).

設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),=1. ……①

AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0，

n(x-4)-(m-4)y=0.

x₀=.

所以點M恒在橢圓G上.

(?)設AM的方程為x=xy+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.

設A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），則有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ(λ≥4),則

|y₁-y₂|＝

因為λ≥4，0<

|y₁-y₂|有最大值3，此時AM過點F.

△AMN的面積S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）問解法一：

（Ⅱ）（?）由題意得F(1,0),N(4,0).

設A(m,n),則B(m,-n)(n≠0),              ……①

AF與BN的方程分別為：n(x-1)-(m-1)y=0,                  ……②

n(x-4)-(m-4)y=0,                  ……③

由②，③得：當≠.          ……④

由④代入①，得=1（y≠0）.

當x=時，由②，③得：

解得與a≠0矛盾.

所以點M的軌跡方程為即點M恒在錐圓C上.

（Ⅱ）同解法一.