高三摸底數學(理科) 第頁(共8頁)
贛州市2009年高三年級摸底考試
理 科 數 學2009年3月
本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共150分.考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷 (選擇題，共60分)
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每一小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.若集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x－2＜2}，則“m∈A”是“m∈B”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.z∈C，若|z|－＝1－2i，則的值是
A.－2 B.－2i C.2 D.2i
3.已知(x－)8展開式中的常數項為1120，其中實數a是常數，則展開式中各項系數的和為
A.28 B
4.在等差數列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則數列{an}的前9項之和S9等于
A.66 B
5.設F為拋物線y2＝4x的焦點，△ABC的三個頂點都在此拋物線上，且＋＋＝0，則||＋||＋||等于
A.9 B
6.已知a，b為空間兩條異面直線，A是直線a，b外一點，則經過A點與兩條異面直線a，b都相交的直線的可能情況為
A.至多有一條 B.至少有一條
C.有且僅有一條 D.有無數條
7.已知f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，則g(x)＝f(x2)的最大值為
A.1 B
8.有下列命題：
①函數f(x)＝sin x＋(x∈(0，π))的最小值是2；
②在△ABC中，若sin
③如果正實數a，b，c滿足a＋b＞c，則＋＞；
④如果y＝f(x)是可導函數，則f′(x0)＝0是函數y＝f(x)在x＝x0處取得極值的必要不充分條件.
其中正確的命題是
A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.②③
9.已知x，y滿足約束條件則z＝的最小值為
A. B. C.4 D.－
10.方程2sin θ＝cos θ在區間[0,2π)上解的個數是
A.0個 B.1個 C.2個 D.4個
11.設函數f(x)＝10n＝1|nx－1|≥m恒成立(記ni＝1ai＝a1＋a2＋a3＋…＋an)，則m的取值范圍是
A.(－∞，5] B.(－∞，]
C.(－∞，] D.(－∞，]
12.已知C為線段AB上的一點，P為直線AB外一點，滿足||－||＝2，|－|＝2，＝，I為PC上一點，且＝＋λ(＋)(λ＞0)，則的值為
A.1 B
第Ⅱ卷 (非選擇題，共90分)
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，答案填寫在題中橫線上.
13.設隨機變量ξ服從標準正態分布N(0,1)，且P(|ξ|＜b)＝a(0＜a＜1，b＞0)，則P(ξ≥b)的值是 (用a表示).
14.已知集合{1，，，…，}，它的所有的三個元素的子集的所有元素之和是Sn，則 ＝ .
15.已知棱長為2的正四面體內切一球，然后在它四個頂點的空隙處各放一個小球，則這些球的最大半徑為 .
16.五個同學傳一個球，球從小王同學手中首先傳出，第五次傳球后，球回到小王手中的概率是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分74分.解答應寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知△ABC三個內角為A、B、C，若cos Acos Bcos C＞0，且p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)與向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共線向量.
(1)求∠A的值；
(2)求函數y＝2sin2B＋cos的最大值.
18.(本小題滿分12分)
甲、乙兩個人射擊，甲射擊一次中靶概率是p1，乙射擊一次中靶概率是p2，已知、是方程x2－5x＋6＝0的兩個根，若兩人各射擊5次，甲的方差是.
(1)求p1、p2的值；
(2)兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目標，則完成目標的概率是多少？
19.(本小題滿分12分)
已知函數f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區間[－1,1]上單調遞減，在區間[1,2]上單調遞增.
(1)求實數a的值；
(2)若關于x的方程f(2|x|－1)＝m(x≠0)有六個不同的實數解，求實數m的取值范圍.
20.(本小題滿分12分)
如圖，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G為△ABC的重心.
(1)若M為GD的中點，求異面直線CG與MB所成角的大小；
(2)若M為線段GD上的動點，求(＋＋)?的最大值.
21.(本小題滿分12分)
已知F1(－2,0)，F2(2,0)，點P滿足|PF1|－|PF2|＝2，記點P的軌跡為S，若直線l過點F2且與軌跡S交于P、Q兩點.
(1)求軌跡S的方程；
(2)無論直線l繞點F2怎樣轉動，在x軸上總存在定點M(m,0)，使MP⊥MQ恒成立，求實數m的值；
(3)過P、Q作直線x＝的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，設PM交AB于E，QM交AB于F，λ＝|AE|?|BF|.求證：當λ取最小值時，△PMQ的面積為9.
22.(本小題滿分14分)
設An為數列{an}的前n項和，An＝(an－1)，數列{bn}的通項公式為bn＝4n＋3.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)對數列{2nln an}，是否存在等差數列{cn}，使得c1C＋c2C＋…＋cnC＝2nln an對一切正整數n∈N*都成立？若存在，求出數列{cn}的通項公式，若不存在，說明理由.
高三摸底數學(理科)答案 第頁(共3頁)贛州市2009年高三年級摸底考試
1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.B 8.C 9.A 10.C 11.C 12.D
13.(1－a) 14.2 15. 16.
17.解：(1)∵p，q共線，
∴(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，1分
∴sin2A＝.2分
∵cos Acos Bcos C＞0，∴A為銳角.3分
∴sin A＝，∴A＝.5分
(2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos6分
＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B8分
＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin(2B－)＋1.10分
∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，).11分
∴當2B－＝時，即B＝時，ymax＝2.12分
18.解：(1)由題意可知ξ甲～B(5，p1)，
∴Dξ甲＝5p1(1－p1)＝1分
⇒p－p1＋＝03分
⇒p1＝.4分
又?＝6，∴p2＝.6分
(2)分兩類情況：①共擊中3次概率C()2()6?C()()＋C??C()2＝.9分
②共擊中4次概率C()2?C()2＝.11分
所求概率為＋＝.12分
19.解：(1)由函數f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在區間[－1,1]上是單調遞減，在區間[1,2]上單調遞增，所以x＝1取得極小值.1分
∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分
∴a＝.4分
(2)由(1)知f(x)＝－x4＋x3＋x2－2x－2，
∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2.5分
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分
∴函數f(x)有極大值f(－1)＝－，f(2)＝－，極小值f(1)＝－.8分
關于x的方程f(2|x|－1)＝m(x≠0)有六個不同的實數解，令2|x|－1＝t(t＞0)，
即關于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三個不同的實數解.9分
在t∈(0，＋∞)上函數f(t)的圖象與直線y＝m的圖象在t∈(0，＋∞)上有三個不同的交點，而f(t)的圖象與f(x)的圖象一致.11分
又f(0)＝－2，由數形結合可知，－＜m＜－.12分
20.解：(1)延長CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中點.1分
∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分
作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是異面直線GC與BM所成的角或補角.3分
∵M是DG的中點，ME＝GC＝2，
BE＝＝＝2.4分
過M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，
∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，
∴cos∠EMB＝＝－.5分
∴異面直線GC與BM所成的角為arccos.6分
(2)＋＋＝－(＋＋)，
∵G是△ABC的重心，
∴＋＋＝3.7分
∴(＋＋)?＝－3?.8分
△DGC是等腰直角三角形，DG＝CD＝4.9分
設MG＝x，則MD＝4－x，
∴－3?＝－3||||cos 180°＝3?x?(4－x)10分
≤3()2＝24.11分
∴(＋＋)?的最大值是24.
(當且僅當M為GD的中點時取得).12分
(備注：以上各小題都可以通過建立空間直角坐標系求解，建議參照給分)
21.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，
點P的軌跡S是以F1、F2為焦點的雙曲線右支.1分
由c＝2,2a＝2，∴b2＝3.2分
故軌跡S的方程為x2－＝1(x≥1).4分
(2)當直線l的斜率存在時，設直線方程為y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)與雙曲線方程聯立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
∴解得k2＞3.5分
∵?＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝＋m2.6分
∵MP⊥MQ，∴?＝0，
故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0對任意的k2＞3恒成立，
∴解得m＝－1.7分
當m＝－1時，MP⊥MQ，
當直線l的斜率不存在時，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知結論也成立.
綜上，當m＝－1時，MP⊥MQ.8分
(3)由(1)知，存在M(－1,0)使得MP⊥MQ，
∴∠AEP＝∠MEF＝∠BQF，∴△PAE～△FBE，
∴＝.9分
|AE|?|FB|＝|AP|?|BQ|＝?＝|PF2|?|OF2|，
|PF2|＝ex1－a＝2x1－1，|PF2|＝ex2－a＝2x2－1，
∴|AE||FB|＝(2x1－1)(2x2－1)10分
＝[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－＋
＝－＋＝＋＝＋＞.
當斜率不存在時|AE|?|AF|＝，∴λ的最小值為.11分
此時，|PQ|＝6，|MF|＝3，S△PMQ＝|MQ|?|PQ|＝9.12分
22.解：(1)由An＝(an－1)，An＋1＝(an＋1－1)，1分
∴an＋1＝(an＋1－an)，即＝3，2分
且a1＝A1＝(a1－1)，
得a1＝3.3分
∴數列{an}是以3為首項，3為公比的等比數列.4分
通項公式為an＝3n.5分
(2)∵2nln an＝2nln 3n＝(nln 3)?2n
＝2nln 3?2n－1＝2nln 3(1＋1)n－16分
＝2nln 3(C＋C＋…＋C)7分
＝2nln 3(nC＋nC＋nC＋…＋nC)8分
＝2nln 3(C＋2C＋…＋kC＋…nC)9分
＝(2ln 3)C＋(2ln 3)?2C＋…＋(2ln 3)?kC＋…＋(2ln 3)?nC.12分
故存在等差數列{cn}，cn＝(2ln 3)?n對一切正整數n∈N*，c1C＋c2C＋…＋cnC＝2nln an都成立.14分
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