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1．在掌握等差數列、等比數列的定義、性質、通項公式、前n項和公式的基礎上，系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題；

3．培養學生善于分析題意，富于聯想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函數的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養學生主動探索的精神和科學理性的思維方法．

1．判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：

(1)定義法：對于n≥2的任意自然數,驗證為同一常數。

(2)通項公式法：

①若  = +（n-1）d= +（n-k）d ，則為等差數列；

②若  ，則為等比數列。

(3)中項公式法：驗證中項公式成立。

2. 在等差數列中,有關的最值問題――常用鄰項變號法求解：  

(1)當>0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值.

(2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。

在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。

3.數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。

1．證明數列是等差或等比數列常用定義，即通過證明 或而得。

2．在解決等差數列或等比數列的相關問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質，可使運算簡便，而一般數列的問題常轉化為等差、等比數列求解。

3．注意與之間關系的轉化。如：

=  ，  =．

4．數列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬變不離其宗，就是離不開數列極限的概念和性質，離不開數學思想方法，只要能把握這兩方面，就會迅速打通解題思路．

5．解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質，揭示問題的內在聯系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．

例1．已知數列{a}是公差d≠0的等差數列，其前n項和為S．

(2)過點Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設l與l的夾角為θ，

證明：(1)因為等差數列{a}的公差d≠0，所以

Kpp是常數(k=2，3，…，n)．

(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d．

例2．已知數列中，是其前項和，并且，

⑴設數列，求證：數列是等比數列；

⑵設數列，求證：數列是等差數列；

⑶求數列的通項公式及前項和。

分析：由于{b}和{c}中的項都和{a}中的項有關，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑．

解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據b的構造，如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵，注意加強恒等變形能力的訓練)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　 ②

由①和②得，數列{b}是首項為3，公比為2的等比數列，故b=3?2．

當n≥2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當n=1時，S=a=1也適合上式．

綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2．

說明：1．本例主要復習用等差、等比數列的定義證明一個數列為等差，等比數列，求數列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。

2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應用．

例3．（04年浙江）設數列{a_n}的前項的和S_n=（a_n-1） (n₊),（1）求a_1;a_2;   (2)求證數列{a_n}為等比數列。

解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

    (Ⅱ)當n>1時,

    得所以是首項,公比為的等比數列.

例4、（04年重慶）設a₁=1,a₂=,a_n+2=a_n+1-a_n  (n=1,2,---),令b_n=a_n+1-a_n  (n=1,2---)求數列{b_n}的通項公式，(2)求數列{na_n}的前n項的和S_n。

      解：（I）因

故{b_n}是公比為的等比數列，且 

       （II）由

       注意到可得

       記數列的前n項和為T_n，則

例5．在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，­為公差的等差數列。

⑴求點的坐標；

⑵設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。

⑶設，等差數列的任一項，其中是中的最大數，，求的通項公式。

解：（1）

（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：

把代入上式，得，的方程為：。

，

=

（3），

T中最大數.

設公差為，則，由此得

說明：本例為數列與解析幾何的綜合題，難度較大（1）、（2）兩問運用幾何知識算出，解決（3）的關鍵在于算出及求數列的公差。

例6．數列中，且滿足   

⑴求數列的通項公式；

⑵設，求；

⑶設=，是否存在最大的整數，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

解：（1）由題意，，為等差數列，設公差為，

由題意得，.

（2）若，

時，

（3）

若對任意成立，即對任意成立，

的最小值是，的最大整數值是7。

即存在最大整數使對任意，均有

說明：本例復習數列通項，數列求和以及有關數列與不等式的綜合問題。.

五、強化訓練

（一）用基本量方法解題

1、（04年浙江）已知等差數列的公差為2，若a_1,a₃,a₄成等比數列，則a₂= （B ）

A  －4     B －6      C －8         D －10 

（二）用賦值法解題

2、（96年）等差數列{a_n}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（C ）

A  130        B  170       C  210       D  260

3、（01年）設{a_n}是公比為q的等比數列， S_n是{a_n}的前n項和,若{S_n}是等差數列，則q=__1_

4、設數列{a_n}的前項的和S_n= （對于所有n1），且a₄=54,則a₁=__2___

（三）用整體化方法解題

5、（00年）已知等差數列{a_n}滿足a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₁=0,則有（C ）             

   A  a₁+a₁₀₁>0     B  a₂+a₁₀₀<0    C   a₃+a₉₉=0    D  a₅₁=51

6、（02年）若一個等差數列的前3項和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數列的項數為（A）                 

    A  13         B  12         C 11            D 10

7、（03年上海）在等差數列{a_n}中a₅=3，a₆=-2,a₄+a₅+…+a₁₀=-49

（四）用函數方法解題                       

8、（04年天津）已知數列{a_n},那么“對任意的nN₊,點P_n(n ,a_n)都在直線y=x+1上”是“{a_n}為等差數列”的（ B）

A必要條件  B 充分條件   C  充要條件  D  既不充分也不必要條件

9、（99年上海）已知等差數列{a_n}滿足3a₄=7a₇,且a₁>0,S_n是{a_n}的前n項和，S_n取得最大值，則n=___9______.

10、（01年上海）已知數列{a_n}中a_n=2n-7,(nN₊),++--+=_153___  

（五）用遞推方法解題

11、（03年全國）設{a_n}是首項為1的正項數列，且（n+1）a²_n+1-na_n²+a_n+1a_n=0,求它的通項公式是__1/n

12、（04年全國）已知數列{a_n}滿足a.₁=1,a_n=a₁+2a₂+3a₃+---+(n-1)a_n-1 (n>1),則{a_n}的通項a_n=______a₁=1;a_n=n2  

13、（04年北京）定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。

已知數列是等和數列，且，公和為5，那么的值為__3___，這個數列的前n項和的計算公式為__當n為偶數時，；當n為奇數時，

14. （04年全國）已知數列{a_n}中，a₁=1，a_2k=a_2k-1+(-1)^K,a_2k+1=a_2k+3^k,其中k=1,2,3，…。

(1)求a_3,a₅；    （2）求{a_n}的通項公式

解：（I）a₂=a₁+(－1)¹=0, a₃=a₂+3¹=3.a₄=a₃+(－1)²=4  a₅=a₄+3²=13,  所以，a₃=3,a₅=13.

    (II)  a_2k+1=a_2k+3^k = a_2k－1+(－1)^k+3^k,    所以a_2k+1－a_2k－1=3^k+(－1)^k,

    同理a_2k－1－a_2k－3=3^k－1+(－1)^k－1,      a₃－a₁=3+(－1).

    所以(a_2k+1－a_2k－1)+(a_2k－1－a_2k－3)+…+(a₃－a₁)

        =(3^k+3^k－1+…+3)+[(－1)^k+(－1)^k－1+…+(－1)],

    由此得a_2k+1－a₁=(3^k－1)+[(－1)^k－1],

    于是a_2k+1=a_2k= a_2k－1+(－1)^k=(－1)^k－1－1+(－1)^k=(－1)^k=1.

{a_n}的通項公式為：

    當n為奇數時，a_n­=

    當n為偶數時，