2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)（必修+選修Ⅰ）
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷1至2頁，第II卷3至9頁．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答題前，考生在答題卡上務(wù)必用0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、填寫清楚 ，并貼好條形碼．請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目．
2．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．在試題卷上作答無效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
參考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面積公式
如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么
次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑
一、選擇題
1．函數(shù)的定義域?yàn)椋?nbsp; ）
A． B．
C． D．
2．汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（ ）
3．在中，，．若點(diǎn)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．設(shè)，且為正實(shí)數(shù)，則（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5．已知等差數(shù)列滿足，，則它的前10項(xiàng)的和（ ）
A．138 B．135 C．95 D．23
6．若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則（ ）
A． B． C． D．
7．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（ ）
A．2 B． C． D．
8．為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（ ）
A．向左平移個(gè)長度單位 B．向右平移個(gè)長度單位
C．向左平移個(gè)長度單位 D．向右平移個(gè)長度單位
9．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
10．若直線通過點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（ ）
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
理科數(shù)學(xué)（必修選修Ⅰ）
第Ⅱ卷
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，然后貼好條形碼．請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共7頁，請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．
3．本卷共10小題，共90分．
（注意：在試題卷上作答無效）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
13．若滿足約束條件則的最大值為 ．
14．已知拋物線的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 ．
15．在中，，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 ．
16．等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于 ．
三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．（本小題滿分10分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設(shè)的內(nèi)角所對的邊長分別為，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
18．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，，．
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小．
19．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
已知函數(shù)，．
（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．
20．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗(yàn)方法：
方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．
（Ⅰ）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求的期望．
21．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)．已知成等差數(shù)列，且與同向．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．
22．（本小題滿分12分）
（注意：在試題卷上作答無效）
設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，．
（Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：；
（Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：．
2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試
1. C. 由
2. A． 根據(jù)汽車加速行駛，勻速行駛，減速行駛結(jié)合函數(shù)圖像可知；
3. A. 由，，；
4. D. ；
5. C. 由；
6. B. 由；
7.D. 由；
8.A. 只需將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像.
9.D．由奇函數(shù)可知，而，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又在上為增函數(shù)，則奇函數(shù)在上為增函數(shù)，.
10.D．由題意知直線與圓有交點(diǎn)，則.
另解：設(shè)向量，由題意知
由可得
11.C．由題意知三棱錐為正四面體，設(shè)棱長為，則，棱柱的高（即點(diǎn)到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.
另解：設(shè)為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為
長度均為，平面的法向量為,
則與底面所成角的正弦值為.
12.B.分三類：種兩種花有種種法；種三種花有種種法；種四種花有種種法.共有.
13.答案：9．如圖，作出可行域，
作出直線，將平移至過點(diǎn)處
時(shí)，函數(shù)有最大值9.
14. 答案：2.由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
為坐標(biāo)原點(diǎn)得，，則
與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則以這三點(diǎn)圍成的三角形的面積為
15.答案：.設(shè)，則
16.答案：.設(shè)，作
，則，為二面角的平面角
，結(jié)合等邊三角形
與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則
,
故所成角的余弦值
則點(diǎn),
,
則,
故所成角的余弦值.
17.解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理及
可得
即，則；
（Ⅱ）由得
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
18．解：（1）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，
，，
．
，
，，即，
面，．
（2）在面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂足為．
，，面，，
則即為所求二面角的平面角．
，，，
，則，
，即二面角的大小．
19. 解：（1）求導(dǎo)：
當(dāng)時(shí)，，，在上遞增
當(dāng)，求得兩根為
即在遞增，遞減，
遞增
（2），且解得：
20．解：（Ⅰ）解：設(shè)、分別表示依方案甲需化驗(yàn)1次、2次。
、表示依方案乙需化驗(yàn)2次、3次；
表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)。
依題意知與獨(dú)立，且
∴
（Ⅱ）的可能取值為2，3。
；
∴
∴（次）
21. 解：（Ⅰ）設(shè)，，
由勾股定理可得：
得：，，
由倍角公式，解得,則離心率．
（Ⅱ）過直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立
將，代入，化簡有
將數(shù)值代入，有,解得
故所求的雙曲線方程為。
22. 解析：
（Ⅰ）證明：，
故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時(shí)，，，
由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立；
（?）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即
那么當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間是增函數(shù)，得
.而，則，
，也就是說當(dāng)時(shí)，也成立；
根據(jù)（?）、（?）可得對任意的正整數(shù)，恒成立.
（Ⅲ）證明：由．可得
1， 若存在某滿足，則由⑵知：
2， 若對任意都有，則
，即成立.
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