2009年高考數學難點突破之集合思想及應用
集合是高中數學的基本知識，為歷年必考內容之一，主要考查對集合基本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用.本節主要是幫助考生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應用.
●難點磁場
(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x2+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠
,求實數m的取值范圍.
●案例探究
［例1］設A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=，證明此結論.
命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點，進而解決問題.屬★★★★★級題目.
知識依托：解決此題的閃光點是將條件(A∪B)∩C=轉化為A∩C=且B∩C=，這樣難度就降低了.
錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認清其實質內涵，因而可能感覺無從下手.
技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯立構成方程組，用判別式對根的情況進行限制，可得到b、k的范圍，又因b、k∈N,進而可得值.
解：∵(A∪B)∩C=，∴A∩C=且B∩C=
∵
∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0
∵A∩C=
∴Δ1=(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0
∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要條件是16b2－16>0,即b2>1 ①
∵
∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0
∵B∩C=,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0
∴k2－2k+8b－19<0,從而8b<20,即b<2.5 ②
由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0組成的不等式組，得
∴k=1,故存在自然數k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=.
［例2］向50名學生調查對A、B兩事件的態度，有如下結果：贊成A的人數是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學生數比對A、B都贊成的學生數的三分之一多1人.問對A、B都贊成的學生和都不贊成的學生各有多少人？
命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實掌握.本題主要強化學生的這種能力.屬★★★★級題目.
知識依托：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.
錯解分析：本題難點在于所給的數量關系比較錯綜復雜，一時理不清頭緒，不好找線索.
技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數量關系間的聯系.
解：贊成A的人數為50×
=30，贊成B的人數為30+3=33，如上圖，記50名學生組成的集合為U，贊成事件A的學生全體為集合A；贊成事件B的學生全體為集合B.
設對事件A、B都贊成的學生人數為x,則對A、B都不贊成的學生人數為
+1,贊成A而不贊成B的人數為30－x，贊成B而不贊成A的人數為33－x.
依題意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21.
所以對A、B都贊成的同學有21人，都不贊成的有8人.
●錦囊妙計
1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質P；要重視發揮圖示法的作用，通過數形結合直觀地解決問題.
2.注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如A
B,則有A=或A≠兩種可能，此時應分類討論.
●殲滅難點訓練
一、選擇題
1.(★★★★)集合M={x|x=
,k∈Z},N={x|x=
,k∈Z},則( )
A.M=N B.M
N C.M
N D.M∩N=
2.(★★★★)已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<,若A∪B=A，則( )
A.－3≤m≤4 B.－3<m<4
C.2<m<4 D.2<m≤4
二、填空題
3.(★★★★)已知集合A={x∈R|ax2－3x+2=0,a∈R},若A中元素至多有1個，則a的取值范圍是_________.
4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|
=1,a>0,b>0},當A∩B只有一個元素時，a,b的關系式是_________.
三、解答題
5.(★★★★★)集合A={x|x2－ax+a2－19=0},B={x|log2(x2－5x+8)=1}，C={x|x2+2x－8=0},求當a取什么實數時，A∩B 和A∩C=同時成立.
6.(★★★★★)已知{an}是等差數列，d為公差且不為0，a1和d均為實數，它的前n項和記作Sn,設集合A={(an,
)|n∈N*},B={(x,y)|
x2－y2=1,x,y∈R}.
試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明.
(1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；
(2)A∩B至多有一個元素；
(3)當a1≠0時，一定有A∩B≠.
7.(★★★★)已知集合A={z||z－2|≤2,z∈C},集合B={w|w=
zi+b,b∈R},當A∩B=B時，求b的值.
8.(★★★★)設f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f［f(x)］=x}.
(1)求證：A
B;
(2)如果A={－1，3}，求B.
難點磁場
解：由
得x2+(m－1)x+1=0 ①
∵A∩B≠
∴方程①在區間［0，2］上至少有一個實數解.
首先，由Δ=(m－1)2－4≥0,得m≥3或m≤－1,當m≥3時，由x1+x2=－(m－1)＜0及x1x2=1>0知，方程①只有負根，不符合要求.
當m≤－1時，由x1+x2=－(m－1)>0及x1x2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區間(0，1］內，從而方程①至少有一個根在區間［0，2］內.
故所求m的取值范圍是m≤－1.
殲滅難點訓練
一、1.解析：對M將k分成兩類：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+
,n∈Z}∪{x|x=
nπ+
,n∈Z},對N將k分成四類，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+
,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+
,n∈Z}.
答案：C
2.解析：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,
∴
即2＜m≤4.
答案：D
二、3.a=0或a≥
4.解析：由A∩B只有1個交點知，圓x2+y2=1與直線
=1相切，則1=
,即ab=
.
答案：ab=
三、5.解：log2(x2－5x+8)=1,由此得x2－5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是關于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，而A∩B 
,即A∩B≠,
∴3是關于x的方程x2－ax+a2－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.
當a=5時，得A={2，3}，∴A∩C={2}，這與A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；當a=－2時，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2.
6.解：(1)正確.在等差數列{an}中，Sn=
,則
(a1+an),這表明點(an,
）的坐標適合方程y
(x+a1),于是點(an, )均在直線y=
x+a1上.
(2)正確.設(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組
的解，由方程組消去y得：；當a1≠0時，方程(*)只有一個解x=
,此時，方程組也只有一解
,故上述方程組至多有一解.
∴A∩B至多有一個元素.
(3）不正確.取a1=1,d=1,對一切的x∈N*,有an=a1+(n－1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于a1=1≠0.如果A∩B≠,那么據(2）的結論，A∩B中至多有一個元素(x0,y0）,而x0=
＜0,y0=
＜0,這樣的(x0,y0）
A,產生矛盾，故a1=1,d=1時A∩B=，所以a1≠0時，一定有A∩B≠是不正確的.
7.解：由w=zi+b得z=
,
∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化簡得|w－(b+i)|≤1.
∴集合A、B在復平面內對應的點的集合是兩個圓面，集合A表示以點(2，0）為圓心，半徑為2的圓面，集合B表示以點(b,1)為圓心，半徑為1的圓面.
又A∩B=B，即BA，∴兩圓內含.
因此
≤2－1,即(b－2)2≤0，∴b=2.
8.(1)證明：設x0是集合A中的任一元素，即有x0∈A.
∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0).
即有f［f(x0)］=f(x0)=x0,∴x0∈B,故AB.
(2)證明：∵A={－1,3}={x|x2+px+q=x},
∴方程x2+(p－1)x+q=0有兩根－1和3，應用韋達定理，得
∴f(x)=x2－x－3.
于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3=x(*)的根.
將方程(*)變形，得(x2－x－3）2－x2=0
解得x=1,3,
,－.
故B={－，－1，，3}.
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