四川省南充高中高三2009年4月月考
數學（文）(2009.04.15)
命、審題人： 陳 昀 許松柏
滿分150分 考試時間120分鐘
一、選擇題：本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目的要求.
1．已知，則＝
A． B．1 C． D．2-
2. 設a,b是滿足ab<0的實數，那么
A．|a+b|>|a－b| B．|a+b|<|a－b|
C．|a－b|<|a|－|b| D．|a－b|<|a|+|b|
3． 函數的定義域為
A．(－1, 2) B．(－1,0)∪(0, 2) C．(0, 2) D．(－1,0)
5. 已知二項式,則其展開式中常數項是
A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項
6若函數的最小正周期為，且最大值為，則將圖象按向量平移后函數解析式是
A． B．
C． D．．
7．從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有
8.已知、均為單位向量，它們的夾角為60°，那么｜＋3|=
A． B． C． D．4
9. 過直線上的一點作圓的兩條切線，當直線關于對稱時，則直線之間的夾角為
A． B. C. D.
10．我們把球外一點與球面上的一動點之間的距離的最小值叫做該點到球面的距離，則空間一點P(1,4,-2)到球面的距離為
A．1 B．2 C．3 D．4
A．14種 B．12種 C．35種 D．34種
11．已知是方程的解, 是方程的解,函數，則
A． B． C． D．
12． 過點P（1,1）作一直線與拋物線交于A、B兩點，過A、B兩點分別作拋物線的切線，設兩切線的交點為M，則點M的軌跡方程為
A. B. C. D.
二、填空題：本大題4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上.
13. 等差數列的前項和為，若，則數列的公差 .
14. 給出平面區域Ｇ為區域（包含的邊界），其中．若使目標函數取得最大值的最優解有無窮多個．則實數的值為
15．在直三棱柱中，，,Ｅ、Ｆ分別是棱 的中點，則異面直線ＥＦ和所成的角為
16.規定符號 “ * ”表示一種運算,即是正實數,已知，則函數 的值域是
．
三、解答題：本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足（2a－c）cosB=bcosC.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設的最大值是5，求k的值.
18．(本小題滿分12分) 從神七飛船帶回的某種植物種子由于在太空中被輻射,我們把它們稱作“太空種子”這種“太空種子”成功發芽的概率為,不發生基因突變的概率為,種子發芽與發生基因突變是兩個相互獨立事件,科學家在實驗室對“太空種子”進行培育,從中選出優良品種.
(1)這種“太空種子”中的某一粒種子既發芽又發生基因突變的概率是多少?
(2)四粒這種“太空種子”中至少有兩粒既發芽又發生基因突變的概率是多少?
19．(本小題滿分12分)已知數列的首項，前項和為，且（為正整數）.
（1）證明：數列是等比數列；
（2）記，的導函數為，試求的值.
20.(本小題滿分12分)如圖：D、E分別是正三棱柱ABC－A1B1C1的棱AA1、B1C1的中點，且棱AA1=8，AB=4，
(1)求證：A1E∥平面BDC1
21．(本小題滿分12分) 已知F1,F2是橢圓的左、右焦點。
(1)若Ｐ是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值.
(2)設過定點M（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點Ａ、Ｂ，且為銳角（其中Ｏ為原點），求直線的斜率的取值范圍．
22. (本小題滿分14分)函數．
（1） 若在處取得極值，求實數a的值；
（2） 在（Ⅰ）的條件下，若關于x的方程在上恰有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍；
（3） 若存在，使得不等式成立，求實數a的取值范圍.
二、13. ３ 14.４ 15. 16.
三、解答題
17.解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，
∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC. …………………2分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA ………………………4分
∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB= …………………………………………5分
∵0<B<π，∴B= ………………………………………6分
（II）=4ksinA+cos2A. ……………………………………7分
=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）……………………………………9分
設sinA=t，則t∈.
則=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈.…………………………10分
∵k>1，∴t=1時，取最大值.
依題意得，－2+4k+1=5，∴k=.………………………………………………12分
18. 解：設某一粒種子成功發芽為事件Ａ，某一粒種子發生基因突變為事件Ｂ則其概率分別是
Ｐ（Ａ）＝,Ｐ（Ｂ）＝ ……………………2分
(1)這種“太空種子”中的某一粒種子既發芽又發生基因突變的概率
……………………7分
(2)四粒這種“太空種子”中至少有兩粒既發芽又發生基因突變的概率是 …………………12分
19．解：（！）由已知可得
當時，兩式相減得
即.當時，得
，從而，故總有，，
又從而，即數列是以６為首項，２為公比的等比數列.
則. ………6分
（２）由（１）知，， ………8分
從而則
………12分
則由題意得EF∥DA1，且EF=DA1，
∴四邊形EFDA1是平行四邊形
∴A1E∥FD，又A1E平面BDC1，FD平面BDC1
∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)由A1E⊥B1C1，A1E⊥CC1，得A1E⊥平面CBB1C1，過點E作
EH⊥BC1于H，連結A1H，則∠A1HE為二面角A1－BC1－B1的平面角 …8分
在Rt△BB1C1中，由BB1=8，B1C1=4，得BC1邊上的高為，∴EH=，
又A1E=2,∴tan∠A1HE==＞∴∠A1HE＞60°， …11分
∴M在棱AA1上時，二面角M－BC1－B1總大于60°，故棱AA1上不存在使二面角M－BC1－B1的大小為60°的點M. …12分
D(2,40),A1(2,8,0), C1(0,8,2)，B1(－2,8,0), E(－1,8,),
=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),
=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),
=(2,8, 2).
(1)證明：∵=2(+)∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)設=（x,y,1）為平面A1BC1的一個法向量，則，且，即解得∴=（,,1），同理，設=（x,y,1）為平面B1BC1的一個法向量，則，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－
∴二面角A1－BC1－B1為arccos. 即arctan,又∵＞
∴二面角A1－BC1－B1大于60°， ∴M在棱AA1上時，二面角M－BC1－B1總大于60°，故棱AA1上不存在使二面角M－BC1－B1的大小為60°的點M. ………… 12分
21解：（１）易知， ……………………………1分
所以，設，則
……4分
因為，故當時，即點Ｐ為橢圓短軸端點時，有最小值－2，
當時，即點Ｐ為橢圓長軸端點時，有最大值１. ……………………6分
（２）顯然直線不滿足題設條件; … …………………………7分
可設直線：，，
聯立，消去整理得，
，
由得 ① ………9分
又，則又，
又
＝，，
② ……………11分
故由①②得的取值范圍是 .………………12分
22.(文)解：（1），由題意得，解得，經檢驗滿足條…4分
（2）由（1）知，，………5分
令，則，（舍去）．
的變化情況如下表：
x
－1
(－1，0)
0
（0，1）
1
－
0
+
－1
ㄋ
－4
ㄊ
－3
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
∴，如圖構造在上的圖象.
又關于x的方程在上恰有兩個不同的實數根，
則，即m的取值范圍是． ………8分
（3）解法一：因存在，使得不等式成立，
故只需要的最大值即可，
∵，∴．………………………10分
①若，則當時，，在單調遞減．
，∴當時，，
∴當時，不存在，使得不等式成立．……………12分
②當a>0時隨x的變化情況如下表：
x
+
0
－
ㄊ
ㄋ
∴當時，，由得.
綜上得a>3，即a的取值范圍是(3,+∞). … ………………………………14分
解法二：根據題意，只需要不等式在上有解即可，即在上有解. 即不等式在上有解即可. …………………………………10分
令，只需要 ………12分
而，當且僅當，即時“=”成立.
故a>3，即a的取值范圍是(3,+∞). ………14分
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