題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
已知數列{
}是首項為
等于1且公比
不等于1的等比數列，
是其前
項的和，
成等差數列.
(1) 求和 
;
(2) 證明 12
成等比數列
(本小題滿分12分)
已知等差數列{
}的前項和為
，且
。數列
為等比數列，且首項
，
．
（1）求數列
，的通項公式；
（2）若數列
滿足
，求數列的前
項和為
；
(本小題滿分12分)
已知等差數列{
}的前項和為
，且
。數列
為等比數列，且首項
，
．
（1）求數列
，的通項公式；
（2）若數列
滿足
，求數列的前
項和為
；
，前n項和為Sn，且S4+a2=2S3；等比數列{bn}滿足b1=a2，b2=a4
，求數列{cn}的前n項的和Tn；
的最大值．本小題滿分12分）
已知等差數列{an}的首項a1＝1，公差d＞0，且
、
、
分別是一個等比數列的第二項、第三項、第四項．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設
＝
（n∈N*），
求
二、13. ３ 14.４ 15. 16.
三、解答題
17.解：（I）∵(2a－c)cosB=bcosC，
∴（2sinA－sinC）cosB=sinBcosC. …………………2分
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
=sin(B+C)
∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA ………………………4分
∵0<A<π,∴sinA≠0.
∴cosB= …………………………………………5分
∵0<B<π，∴B= ………………………………………6分
（II）=4ksinA+cos2A. ……………………………………7分
=－2sin2A+4ksinA+1，A∈（0，）……………………………………9分
設sinA=t，則t∈.
則=－2t2+4kt+1=－2(t－k)2+1+2k2,t∈.…………………………10分
∵k>1，∴t=1時，取最大值.
依題意得，－2+4k+1=5，∴k=.………………………………………………12分
18. 解：設某一粒種子成功發芽為事件Ａ，某一粒種子發生基因突變為事件Ｂ則其概率分別是
Ｐ（Ａ）＝,Ｐ（Ｂ）＝ ……………………2分
(1)這種“太空種子”中的某一粒種子既發芽又發生基因突變的概率
……………………7分
(2)四粒這種“太空種子”中至少有兩粒既發芽又發生基因突變的概率是 …………………12分
19．解：（！）由已知可得
當時，兩式相減得
即.當時，得
，從而，故總有，，
又從而，即數列是以６為首項，２為公比的等比數列.
則. ………6分
（２）由（１）知，， ………8分
從而則
………12分
則由題意得EF∥DA1，且EF=DA1，
∴四邊形EFDA1是平行四邊形
∴A1E∥FD，又A1E平面BDC1，FD平面BDC1
∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)由A1E⊥B1C1，A1E⊥CC1，得A1E⊥平面CBB1C1，過點E作
EH⊥BC1于H，連結A1H，則∠A1HE為二面角A1－BC1－B1的平面角 …8分
在Rt△BB1C1中，由BB1=8，B1C1=4，得BC1邊上的高為，∴EH=，
又A1E=2,∴tan∠A1HE==＞∴∠A1HE＞60°， …11分
∴M在棱AA1上時，二面角M－BC1－B1總大于60°，故棱AA1上不存在使二面角M－BC1－B1的大小為60°的點M. …12分
D(2,40),A1(2,8,0), C1(0,8,2)，B1(－2,8,0), E(－1,8,),
=(－4,－4,0), =(－2,4,2),=(－3,0, ),
=(－4,－8, 0), =(－2,0, 2),=(0,8,0),
=(2,8, 2).
(1)證明：∵=2(+)∴A1E∥平面BDC1 …6分
(2)設=（x,y,1）為平面A1BC1的一個法向量，則，且，即解得∴=（,,1），同理，設=（x,y,1）為平面B1BC1的一個法向量，則，且，即解得∴=（－,0,1），∴cos<,>==－
∴二面角A1－BC1－B1為arccos. 即arctan,又∵＞
∴二面角A1－BC1－B1大于60°， ∴M在棱AA1上時，二面角M－BC1－B1總大于60°，故棱AA1上不存在使二面角M－BC1－B1的大小為60°的點M. ………… 12分
21解：（１）易知， ……………………………1分
所以，設，則
……4分
因為，故當時，即點Ｐ為橢圓短軸端點時，有最小值－2，
當時，即點Ｐ為橢圓長軸端點時，有最大值１. ……………………6分
（２）顯然直線不滿足題設條件; … …………………………7分
可設直線：，，
聯立，消去整理得，
，
由得 ① ………9分
又，則又，
又
＝，，
② ……………11分
故由①②得的取值范圍是 .………………12分
22.(文)解：（1），由題意得，解得，經檢驗滿足條…4分
（2）由（1）知，，………5分
令，則，（舍去）．
的變化情況如下表：
x
－1
(－1，0)
0
（0，1）
1
－
0
+
－1
ㄋ
－4
ㄊ
－3
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
∴，如圖構造在上的圖象.
又關于x的方程在上恰有兩個不同的實數根，
則，即m的取值范圍是． ………8分
（3）解法一：因存在，使得不等式成立，
故只需要的最大值即可，
∵，∴．………………………10分
①若，則當時，，在單調遞減．
，∴當時，，
∴當時，不存在，使得不等式成立．……………12分
②當a>0時隨x的變化情況如下表：
x
+
0
－
ㄊ
ㄋ
∴當時，，由得.
綜上得a>3，即a的取值范圍是(3,+∞). … ………………………………14分
解法二：根據題意，只需要不等式在上有解即可，即在上有解. 即不等式在上有解即可. …………………………………10分
令，只需要 ………12分
而，當且僅當，即時“=”成立.
故a>3，即a的取值范圍是(3,+∞). ………14分
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